Álgebra Lineal

Tema 1: Nociones de lógica matemática, sistemas lineales (I), espacios vectoriales reales.
1,1 Nociones de lógica matemática y de conjuntos
En matemáticas hay dos procesos fundamentales:
1. De conceptualización:
a. Definiciones.
b. Propiedades
c. Proposiciones
d. Teoremas.
2. De demostración:
e. Directa
f. Del contra-reciproco
g.Reducción al absurdo.
h. Inducción
En el lenguaje matemático, las afirmaciones son siempre verdaderas y se expresa:
“Si p entonces q”
“p→q”
Se dice que “p” es la hipótesis y que “q” se la conclusión o tesis.
La demostración por contra-reciproco consta en probar:
“¬p⟶¬q”
“no p entonces no q”
La demostración de reducción al absurdo o por contradicción busca que, a partir de “p unión no q”llegar a la negación de p y/o a que q es verdad.
p⟶q
(p ∧q) ⟶… ⟶ ⌐p (!!)
(p ∧¬q) ⟶… ⟶ p (!!)
1,2 Fundamentos de teoría de conjuntos
Un conjunto es una colección de elementos. Siempre se representan por letras mayúsculas del alfabeto latino, y los elementos por minúsculas. Un conjunto se puede describir de dos maneras:
1. “Enumeración”: Utilizado para conjuntos finitos. Se escriben uno auno los elementos que forman el conjunto.
* A=2,4,6
* El conjunto “A” está formado por los números 2,4,6
2. “Caracterización“: Utilizado generalmente para conjuntos con infinitos elementos, o los cuales son grandes cantidades. Se describen los elementos del conjunto a partir de sus propiedades.
* A=x∈N | x=∘2 ∧x≤6
* El conjunto “A” está formado por todos losnúmeros naturales x∈N y que sean múltiplos de 2 x=∘2 y menores o iguales que 6.
Operaciones con conjuntos
* Unión: A∪B=x | x∈A ∨x∈B
* Intersección: A∩B=x | x∈A ∧ x∈B
* Complementación: Ac=x | x∉A
Propiedades de los conjuntos
* Asociativa:
* A∪B∪C=A∪B∪C
* A∩B∩C=A∩B∩C
* Conmutativa:
* A∪B=B∪A
* A∩B=B∩A
* Idempotencia:
* A∪A=A
* A∩A=A* Simplificación:
* A∪A∩B=A
* Ac

Ac

A∩A∪B=A
* A
A
Doblemente distributiva:
* A∪B∩C=A∪B∩A∪C
* A∩B∪C=A∩B∪A∩C
* Leyes de Morgan:
* A∩BC=AC∪BC
* A∪BC=AC∩BC
* ACC=A
1,3 Método de Gauss
Se llama sistema lineal al sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto de ecuaciones siguiente:
|a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
↓ ↓|am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
Para los primeros (aij) son los coeficientes del sistema, los segundos (bj) son los términos independientes del sistema. Y se dice que x1,x2,xn son las incógnitas del sistema.
Definición:
Dado el sistema lineal:
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm

Se llama solución de este sistema a una “n-upla” (S1,S2,…,Sn) tal que se verifica:a11S1+a12S2+⋯+a1nSn=b1⋮am1S1+am2S2+⋯+amnSn=bm
Notas y observaciones:
* De acuerdo con que un sistema lineal tenga o no tenga solución se dice que este es compatible o incompatible. Si el sistema tiene una única solución se dice que es compatible determinado, en el caso que tenga infinitas soluciones se dice que es compatible indeterminado
* Si todos los términos independientes de un sistema lineal son 0 (cero), se dice quees un sistema homogéneo.

Definición de sistemas equivalentes
* Dos sistemas lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
* Dado un sistema lineal, se puede obtener otro equivalente a él teniendo en cuenta:
* Si el sistema dado hay una ecuación que es combinación lineal de otra, se puede suprimir y el sistema resultante es equivalente al original.
* Si enel sistema dado sustituimos una ecuación por una combinación lineal de ella misma con otras, entonces el sistema que de esta forma se obtiene es equivalente al original.
Ejemplo 1:
Eq1=-x1+2x2-x3=1
Eq2=x1+3x2-2x3=0
Eq3=5x2-3x3=1
~
Eq1=-x1+2x2-x3=1
Eq2=x1+3x2-2x3=0
Utilizando estas propiedades para obtener sistemas equivalentes a uno dado, vamos a presentar el método de Gauss, para...