Álgebra

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MATRICES Y DETERMINANTES

OBJETIVOS

Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:

( Realizar las diferentes operaciones matriciales.
( Desarrollar los diferentes métodos que existen en el cálculo de determinantes.
( Formar las bases para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

INTRODUCCIÓN

¿Sabe usted contar? La pregunta es un tanto ofensivapara una persona mayor de tres años. ¿Quién no sabe contar? No se necesita un arte especial para decir por orden “uno, dos, tres…”. A pesar de todo, estoy seguro de que no siempre resuelve usted este problema, tan sencillo, al aparecer. Todo depende de lo que haya que contar. No es difícil contar los clavos que hay en un cajón. Pero supongamos que el cajón contiene no sólo clavos, sino clavos ytuercas revueltos, y que precisa averiguar cuántos hay de unos y de otras. ¿Qué hacer en ese caso? ¿Va usted a colocar los clavos y las tuercas en dos montones y luego contarlos?
El mismo problema surge cuando un ama de casa ha de contar la ropa antes de darla a lavar. Primero hace montones, separando las camisas en uno, las toallas en otro, las fundas de almohada, en otro, etc. Sólo después de esalabor, bastante fastidiosa, empieza a contar las piezas de cada montón.
¡Eso se llama no saber contar! Porque ese modo de contar objetos heterogéneos es bastante incómodo, complicado y algunas veces incluso irrealizable. Menos mal si lo que hay que contar son clavos o ropa blanca, porque pueden distribuirse con facilidad en montones. Pero, pongamos en el caso de un silvicultor que necesitacontar los pinos, abetos, abedules y cipreses que hay por hectárea en una parcela determinada. Le es imposible clasificar los árboles y agruparlos previamente por especies. ¿En qué forma podrá hacerlo? ¿Contará primero sólo los pinos, luego sólo abetos, después los abedules, y a continuación los cipreses? ¿Va a recorrer la parcela cuatro veces?
¿No existe acaso un procedimiento que simplifique esaoperación y exija que recorra una sola vez? Sí; existe ese procedimiento, y los silvicultores lo utilizan desde antiguo. Voy a poner en qué consiste, tomando como ejemplo la operación de contar clavos y tuercas.
Para contar de una vez cuántos clavos y tuercas hay en el cajón, sin agrupar previamente los objetivos de cada clase, tome un lápiz y una hija de papel, rayada según este modelo.|Clavos |Tuercas |
| | |

Después empiece a contar. Tome el cajón lo primero que le venga a la mano. Si es un clavo, trace una raya en la casilla correspondiente a los clavos; si es una tuerca, indíquelo con una raya en la casilla de las tuercas. Tome el segundo objeto y haga lo mismo. Tome el tercero, etc, hasta que se vacíe el cajón,y en la segunda, tantas como tuercas había. Sólo falta hacer el recuento de las rayas inscritas en cada columna.
El recuento de las rayas puede realizarse más fácil y rápidamente, no poniéndolas simplemente una tras otra, sino agrupándolas de cinco en cinco, formando por ejemplo figuritas como las indicadas en la figura I.
Los cuadrados de este tipo es mejor agruparlos en parejas es decir,después de las 10 primeras rayas, se pone la undécima en una columna nueva; cuando en la segunda columna haya dos cuadrados, se empieza otro cuadrado en la columna tercera, etc. Las rayas tomarán entonces una forma parecida a la indicada en la figura 2. Las rayas, así colocadas, es muy fácil contarlas, ya que inmediatamente que hay tres decenas completas, un grupo de cinco y tres rayas más, es decir,30 + 5 + 3 = 38.
Pueden utilizarse también otras clases de figura; por ejemplo, se emplean a menudo figuras en las que cada cuadrado completo vale 10 (figura 3).

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En una parcela del bosque, para contar árboles de diferentes especies, debe procederse exactamente de la misma forma; pero en la hoja de papel se precisan cuatro casillas y no dos como acabamos de ver. En este caso, es...