Ángulos Verticales

ÁNGULOS VERTICALES
En el presente tema estudiaremos aplicaciones de triángulos rectángulos que tienen gran utilidad en la vida práctica, como por ejemplo en la topografía, geodesia, navegación, o en el cálculo indirecto de distancias inaccesibles.
Su estudio también está basado en la resolución de triángulos rectángulos y por ende la aplicación de razones trigonométricas.
Antes de dedefinir ángulos verticales y horizontales debemos tener claro algunos conceptos importantes:

LÍNEA VISUAL
Es la línea recta imaginaria que une el ojo de un observador (generalmente una persona) con un objeto que se observa.

LÍNEA HORIZONTAL
Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial que pasa por el ojo del observador.










ÁNGULOS VERTICALES:
Sonaquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por las líneas de mira (o visual) y la línea horizontal que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:
1. ÁNGULO DE ELEVACIÓN:
Es aquel ángulo que se forma entre la línea horizontal que parte de la vista del observador y una línea visual; pero cuando el objeto se encuentra por encima del horizontal. Para apreciardicho ángulo, observemos la figura:










: Ángulo de elevación.

2. ÁNGULO DE DEPRESIÓN:
Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual; pero cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.







: Ángulo de Depresión.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. A una distancia de 20 m de un poste se observa su parte alta con ángulo deelevación 37º. Determinar la visual.

a) 5 m b) 15 c) 25
d) 35 e) 40

2. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de una torre de altura de 32 m con un ángulo de elevación de 15º. Se acerca una distancia “x” y el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuánto vale “x”?

a) 15 m b) 30 c) 60
d) 120 e) 150

3. Cuánto mide la sombra proyectada por una torre de 30 m de altura, si elángulo de elevación de es de 30º?

a) 15 3 m b) 60 m c) 15 m
d) 30 3 m e) 20 3 m

4. Desde un punto en Tierra ubicado a 12 m de un edificio se ve su parte más alta con un ángulo de elevación “”. Si: tan = 3/2. ¿Cuánto mide el edificio?

a) 24 m b) 18 c) 36
d) 26 e) 15

5. Una persona de “h” de estatura observa un edificio de “H” de altura con ángulo de elevación “”. Determine ladistancia entre la persona y el edificio.

a) (H - h) tg d) (H - h) csc
b) (H - h) ct e) H . h . sec
c) (H - h) sec

6. Desde un punto en Tierra se ubica lo alto de un edificio con un ángulo de elevación “”. Nos acercamos una distancia “d” y el ángulo de elevación sería “”, halle la altura del edificio.

a) d)
b) e)
c)
7. A 120 metros del pie de un edificio su ángulode elevación es de 60º. ¿Cuál es la altura del edificio?

a) 40 3 m d) 60 3 m
b) 80 3 m e) 20 3 m
c) 15 m

8. Un niño de 1,5 m de estatura divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión de 37º. ¿A qué distancia del niño se encuentra la piedra?

a) 1 m b) 2 c) 3
d) 2,5 e) 4

9. Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados, con ángulos dedepresión de 53º y 37º. Si los barcos están separados una distancia de 14 m. ¿Cuál es la altura del faro?

a) 16 m b) 12 c) 24
d) 32 e) 8


10. Desde lo alto y bajo de un muro se observa lo alto de un poste con ángulos de elevación de 37º y 45º respectivamente. Si la distancia entre el muro y poste es 8 m. Halle la suma de sus alturas.

a) 6 m b) 8 c) 10
d) 12 e) 16

11. Una antenade televisión se encuentra situado en lo alto de un edificio de 18 metros de altura. Si un hombre ve con un ángulo de 53º a la antena y con un ángulo de 45º el edificio. Hallar la altura de la antena.

a) 6 m d) 8 m
b) 10 m e) 16 m
c) N.A.

12. La distancia entre dos edificios es de 60 metros. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 metros se observa la...