áreas y volumenes

ÁREAS

DEFINICIÓN

Área es el número que expresa la medida de una región.
región
unitaria
3. Área de una región triangular en función de:
1. Del inradio

Región



1u2
1u2


1u2

1u2



1u2



como: p =
a b
r



c
A = p . r

1u2: unidad de área


Área de una región triangular

1. Fórmula básica

2. Del ex radio











A = A => 90


A = (p – a) ra

A = (p – b) rb

A = (p – c) rc


3. Del circunradio b


A =
a

A =

2. Fórmula trigonométrica



4. Teorema de Herón

Como : p =
b
A =


a
5. Segmentos determinados en la hipotenusa:
A =
A = m . n
r




m n
4. Área de un equilátero
En función del lado:



60
3. Paralelogramo




h




AP = b . h
l lA =



60 60
l
b
4. Rombo

B

30 30
A =
h

60 60



AR =

A C

Área de regiones cuadrangulares

1. Fórmula básica


B B
C
5. Rectángulo


b
A D A = a . b

a
A = 6. Cuadrado
l



2. Trapecio
b
l D l

m l
h En función del lado
A = l 2
B


A Τ AT = m . h
En función de la diagonal A =

7. Cuadrilátero inscrito


Casoparticular

B n C





A
B
d
C
a

AT = n . d c
A
b
BC // AD D
D

Como : p =
Área de regiones circulares



A =


8. Cuadrilátero circunscrito:

d
Círculo



r 0 r d



A= r2


A =



a 0 c r

Corona circular



b



Como : p =








A = p . r

d
A= (R2 - r2)


0
A =
r

R

9. Cuadrilátero bicéntrico


T. dePilot : a + c = b + d


Sector circular

R
b A =
0
a c
R


d

como :


Trapecio circular

p =

A = A =
R r
10. Cuadrilátero ex inscrito





c d ra
b
a
como : ra es ex radio

A = ra (a – c)
Segmento circular


A


0


R B



A = A - A
A B AOB AOB


A B

Nota: Teorema de Steiner:
a – c = d - b
PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el área de uncuadrado inscrito en un círculo de radio 2

a) 8m2 b) 14m2 c) 16m2 d) 10m2
e) N.A.

2. El área de un círculo es m2. ¿cuál es el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia?
a) b) c) d) A

e) N.A.

3. Calcular la longitud de una circunferencia inscrito en un triángulo de 30 m de perímetro y cuya área es de 30 m2.
a) Lc = 2
7.Hallar el área de la región sombreada. a) 10
2 b) 6
4 c) 8
r d) 12
R
e) N.A.


8. Calcular el área de la región sombreada ABCD.
B

C a) 24
6 b) 30 c) 48 d) 32
D e) 12
9. Hallar el 8área del trapecio ABCD.


E
b) Lc = 4 c) Lc = 8 d) Lc = 6
e) Lc = 10

B 2 C
a) AT = 20 b) AT = 10 c) AT = 5
d) AT = 2
4. ¿Cuál es el área de un triángulo en m2, si A 8sus lados miden 13 ; 20 y 21m ?
a) 120m2 b) 124m2 c) 126m2
D
e) AT = 6

d) 130m2 e) N.A.

5. Los lados de un triangulo miden 10;12 y
14 m. ¿cuánto mide el radio del círculo
inscrito?
a) b) c) d)

e)

6. Hallar el área del círculo.
a) (24 - 12 b) (24 - 16
c) (12 - 24
10. En un trapecio ABCD, ( AB//CD; AB > CD). Las áreas de lostriángulos AOB y COD son de
25m2 y 12 m2. Hallar el área del trapecio (0 es
el punto de corte de las diagonales). a) 71m2
b) 36m2
c) 71,6m2 d) 36,6m2 e) 70,6m2
R= 4




R= 4

d) (3 – 4 e) (4 – 3
PRISMA E H

Es Un poliedro limitado por 2 polígonos iguales y F G
paralelos llamados bases y por paralelogramos D A
llamados caras.
A B
E’


A’ D’Paralelepípedo recto: las aristas laterales son

B’ C’

Paralelepípedo oblicuo: aristas no perpendiculares a las bases

E
A D rectángulos.
Cubo o hexaedro regular: sus caras son
B C cuadrados.

Base Polígonos

Aristas

Altura: distancia entre sus bases

PRISMA RECTO

Arista perpendiculares a las bases
Caras rectangulares
o D = a
a o d...