Areas y volumenes

ÁREAS
DEFINICIÓN Área es el número que expresa la medida de una región.
región unitaria 1u Región 1u
2 2

3. Área de una región triangular en función de: 1. Del inradio a
b r

1u

2

1u
2

2

como: p =
c

1u

A = p.r
1u : unidad de área
2

2.

Del ex radio

Área de una región triangular

1. Fórmula básica

> 90 A = (p – a) ra A = (p – b) rb A = A= 3. b A = A = (p– c) rc Del circunradio

a A =

2. Fórmula trigonométrica

4. Teorema de Herón Como : p = A=

b a
A=

5. Segmentos determinados en la hipotenusa: A
r

= m.n

m

n

4. Área de un

equilátero

3. Paralelogramo AP = b . h
h

En función del lado:

l

60

l

A=
b

60

60

l
30 30

4. Rombo
B

A=
h
60 60
A C

AR =

Área de regiones cuadrangulares1. Fórmula básica
B C
B

5. Rectángulo
b

A

D
a

A= a . b

A

=

6. Cuadrado

l
2. Trapecio
b h h m

l l

D

l

En función del lado

A=l
B

2

AΤ

AT = m . h

En función de la diagonal 7. Cuadrilátero inscrito
B d C a

A=

Caso particular
B n C

AT = n . d
A b
A

c

BC // AD
D

D

1

Como : p =

Área de regiones circulares CírculoA= A= r2 8. Cuadrilátero circunscrito:
d
r 0 d r

A=

a

0 r

c

Corona circular
d

A= (R2 - r2) A=
r

b
0

Como : p = 9. Cuadrilátero bicéntrico T. de Pilot : a + c = b + d
b

A= p . r

R

Sector circular
R

A=
0
c

a

R
d

como : p= A=

Trapecio circular

A=
R r

10. Cuadrilátero ex inscrito

Segmento circular
ra b a c d

A

A
AB

=A-A
AOB

AOB
AB

como : ra es ex radio A = ra (a – c) Nota: Teorema de Steiner: a–c=d-b
R

0

A
B

=

2

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el área de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 2 a) 8m2 e) N.A. b) 14m2 c) 16m2 d) 10m2

7. Hallar el área de la región sombreada. a) 10 2 b) 6 4 c) 8 d) 12 r R e) N.A. 8. Calcular el área de la región sombreada ABCD.
B

2. El áreade un círculo es m2. ¿cuál es el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia?
a) e) N.A. b) c) d)

3. Calcular la longitud de una circunferencia inscrito en un triángulo de 30 m de perímetro y cuya área es de 30 m2.
a) b) c) d) e) Lc = 2 Lc = 4 Lc = 8 Lc = 6 Lc = 10
2

a) 24 b) 30 6 A c) 48 d) 32 e) 12 D 8 9. Hallar el área del trapecio ABCD.
C

E B 2

C

a) AT = 20 b)AT = 10 c) AT = 5 d) AT = 2

4. ¿Cuál es el área de un triángulo en m , si sus lados miden 13 ; 20 y 21m ?
a) 120m2 d) 130m2 b) 124m2 e) N.A. c) 126m2

A

8

D

e) AT = 6

5. Los lados de un triangulo miden 10;12 y 14 m. ¿cuánto mide el radio del círculo inscrito? a)
e)

b)

c)

d)

10. En un trapecio ABCD, ( AB//CD; AB > CD). Las áreas de los triángulos AOB y COD son de25m2 y 12 m2. Hallar el área del trapecio (0 es el punto de corte de las diagonales). a) 71m2 b) 36m2 c) 71,6m2 d) 36,6m2 e) 70,6m2

6. Hallar el área del círculo.
a) (24 - 12 b) (24 - 16 c) (12 - 24
R= 4 R= 4

d) e)

(3 – 4 (4 – 3

3

PRISMA
Es Un poliedro limitado por 2 polígonos iguales y paralelos llamados bases y por paralelogramos llamados caras.
E’ A’ B’ C’ D’

E F D A B G AH

E A B D C

Paralelepípedo recto: las aristas laterales perpendiculares a las bases, Paralelepípedo oblicuo: aristas perpendiculares a las bases Paralelepípedo rectángulo: sus caras rectángulos. Cubo o hexaedro regular: sus caras cuadrados. Polígonos
D d a a

son no son son

Base Aristas Altura: distancia entre sus bases PRISMA RECTO

o o o o

D=a d=a V = a3 A = 6 a2

aPARALELEPÍDO RECTÁNGULO D=
D C

Arista perpendiculares a las bases Caras rectangulares

V=a .b.c
b a

PRISMA OBLICUO Arista no perpendiculares a la base Caras romboides

Área total: es la suma de todas las caras Área lateral: es la suma de las caras laterales

Superficies y volúmenes de prismas 1. Área lateral (AL) AL = (arista lateral). (perímetro de la base) 2. Área total (AT) AT = AL +...