01 Vectores

Mecánica

Tema
01.
Vectores.
Centros
de
gravedad.
Cargas
distribuidas.


Cecilia
Pardo
Sanjurjo

DPTO.
DE
INGENIERÍA
ESTRUCTURAL
Y
MECÁNICA

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3.0


•  Vectores. Sistemas de vectores deslizantes 
•  Centros de gravedad 
•  Cargas distribuidas 

Vectores. Sistemas de vectores  deslizantes Segmentos orientados ideales para representar magnitudes de las que es necesario 
especificar tamaño, dirección y sen
Módulo: tamaño del vector  
Dirección: orientación del segmento (por ejemplo mediante ángulos) 
Sen Línea de acción: recta que con 5N
l nea de acci n



Tipos de vectores Libres: dos vectores libres son iguales si 9enen mismo módulo, dirección y sen9do, 
no importa su punto de aplicación  
Ligados: dos vectores ligados son iguales si  punto de aplicación 
Deslizantes: dos vectores deslizantes son iguales si  sen Ejemplos: 
Vector libre: vectores constantes en una zona 
Vectores deslizantes: fuerzas en sólidos rígidos   Vector ligado: fuerzas en sólidos deformables   

Suma o composición de vectores 
Libres:  se  suman  en  cualquier  punto  siguiendo  la  regla  del  paralelogramo;  el 
resultado es un vector libre que se puede llevar a cualquier punto de aplicación. 

Varios vectores: uno a con a la punta del úl
•    Ligados: Únicamente se pueden componer o descomponer si están aplicados en el 
mismo punto. El vector resultante está ligado a ese punto. 

•  Deslizantes:  Se pueden sumar o descomponer si sus líneas de acción se cortan, en 

ese caso se llevan los vectores a ese punto común y se componen o descomponen 
con la regla del paralelogramo. El vector resultante puede deslizar a lo largo de su 
línea de acción. 

Descomposición en dos direcciones u, v  Las  direcciones  u  y  v  han  de  concurrir  en  la  línea  de  acción  del  vector  a 
descomponer si se trata de un vector deslizante 
L

L
L

.

.L

K

.
.K

.K
K

K
.L

Componentes rectangulares 
Elegido un sistema de ejes cartesianos Oxyz es cómodo dar el vector v como: 




v = v x i + v y j + v zk

v
vx

Siendo  vx  ,  vy  ,  vz  las  componentes  del vector en las direcciones de los ejes    

vz
)

Módulo del vector   

vy

*

x

y

•   Si  se  tratase  de  un  vector  deslizante 
habría  que  dar  un  punto  de  su  línea  de 
acción , por ejemplo el B:    

(

B b x ,by ,bz

Si los vectores se pueden sumar: 








a = a x i + a y j + a zk , y b = b x i + b y j + b zk

v2x + v2y + v2z

•   Si el vector fuese ligado hay que dar su 
punto de aplicación: (el punto A) z

O


v =

)

  


R=a + b = Rxi +Ry j + Rz k
Rx = a x + b x

Ry = a y + b y

Rz = a z + b z

Y
B

b
!
O

C

R
$

b
"#!

a

!

X

A

Si  se  conoce  el  módulo  de  los 
vectores que se quieren sumar y 
el  ángulo  que  forman,  se  puede 
u para hallar el módulo de R 

U
R 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos ( π − θ ) = a 2 + b 2 +2ab cos θ

R = a 2 + b 2 + 2ab cos θ
El ángulo φ se puede hallar del teorema del seno en OAC:
b
R
b
=
→ senφ = senθ
senφ sen ( π − θ )
R

Un  sistema  de  vectores  concurrentes  se  puede  sus9tuir  por  un  vector  resultante 
en el punto de concurrencia 
Ejemplo: 
2N

5N

F4 

2



F1 = 2 i


F3 = −2 j

2 2N

F3 

F2 

O
45

1



F2 = 2 i + 2 j


F4 = − i + 2 j

N

B

1

2N
C

R

2NF1 

C

1

3N

1

1

A
0.5

0.5

1.5

0.5

0.5

θ

1.5

(cotas en m)

Rx = ∑ Fx = 2 + 2 − 1 = 3 N ⎫⎪
⎬
Ry = ∑ Fy = 2 + 2 − 2 = 2 N⎪
⎭




R = 3i + 2j

R = 32 + 22 = 13 N
2
tgθ = → θ = 33.69º
3

 
Producto escalar a • b
Es el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman. 
Su resultado es un escalar 
>

 
a • b = a b cos θ...

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