03 Matrices
Algebra
y Geometr´ıa Anal´ıtica
3-Matrices
Docente: Ernesto Aljinovic
Resumen
A = (aij ) ∈ Cn×m
−→
a11
A=
···
···
···
···
aij
···
···
···
a12
···
an1 an2
a1(m−1)
a1m
···
← fila i
···
an(m−1) anm
↑ columna j
Si A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×m y k ∈ C, se definen:
t
A + B = (aij + bij )
A∗ = A (adjunta)
k · A = (k aij )
aii = Elementosde la diagonal de A.
At = (aji (traspuesta)
tr(A) =Suma de los elementos de la diagonal de A. (traza)
A = (aij ) (conjugada)
Otras definiciones:
A es antisim´etrica sii −At = A
I = (δij ) ∈ Cn×n (matriz identidad)
S es sim´etrica sii S t = S
A ∈ C1×m (matriz fila)
H es herm´ıtica sii H ∗ = H
A ∈ Cn×1 (matriz columna)
0 = (oij ) con oij = 0 (Matriz nula)
δij =
1 si i = j
(delta deKroneker)
0 si i = j
A ∈ Cn×n (matriz cuadrada)
A = (aij es una matriz diagonal sii aij = 0 cuando i = j
Si A = (aij ) ∈ Cn×m y B = (bij ) ∈ Cm×r , definimos al producto de matrices como
m
A · B = (cij ) ∈
Cn×r
con cij =
aik bkj
k=1
Observaci´on: El producto de matrices no es conmutativo.
Notaci´on: Si A = (aij ) ∈ Cn×n , A2 = A A y An = A An−1
1
Propiedades
Si A, B y C son matrices con lostama˜
nos adecuados para realizar las operaciones y k, k1 y k2 son
escalares, entonces:
A+B =B+A
AB = AB
(A + B) + C = A + (B + C)
(A B)∗ = B ∗ A∗
k(A + B) = k A + k B
(k A)t = k At
(k1 + k2 )A = k1 A + k2 B
kA = kA
(A B)C = A(B C)
(k A)∗ = k A∗
k(A B) = (k A)B = A(k B)
AI = A
A(B + C) = A B + A C
IA = A
(A + B)C = A C + B C
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
(A + B)t = At + B t
tr(k A) =k tr(A)
A+B =A+B
tr(At ) = tr(A)
(A + B)∗ = A∗ + B ∗
tr(A) = tr(A)
(A B)t = B t At
tr(A∗ ) = tr(A)
Si B ∈ Cn×n , entonces existe una u
´nica forma de escribir a B = S + A con S sim´etrica y A
1
1
antisim´etrica y es utilizando S = (B + B t ) y A = (B − B t )
2
2
Si A, B ∈ Cn×n , entonces tr(A B) = tr(B A)
Ejercicios
Ejercicio 1 Escribir las matrices:
a) A = (aij ) ∈ R4×3 con aij = i + 3j1 si i = j
0 si i = j
b) I = (δij ) ∈ R3×3 con δij =
Ejercicio 2 Hallar ejemplos de matrices diagonales, sim´etricas, antisim´etricas y hem´ıticas de
3 × 3.
Ejercicio 3 Sean
A=
5 8 a
−5 0 −3
B=
5a −5 6
0
6 −1
4 + 3i 6 − i
i
−6i
4i
5−i
D = 8 −2 + 4i
i
7
C=
Obtener en caso que sea posible:
2
5
3
3
3
4
b) 4 C t + D
f ) tr(A) + tr(D)
a) 3 A − 2 B
e) At + C ∗
Ejercicio 4 Sea lamatriz A =
5
5+i
4 + 9i
c) A − C
d) D + D
i
8 + 2i 2 + 5i
4
−3
5
Completar los espacios vacios de forma tal que la matriz resulte herm´ıtica. ¿Cuantas
puede construir?
Ejercicio 5 Encontrar matrices A antisim´etrica y S sim´etrica tales que B = A + S para:
4 − i 6 + 2i
3
5 9
3
8
a) B =
b) B = 4i
7 6
0
−i
1+i
Ejercicio 6 Sean
1 −3
A= 5 0
4 −1
2+i
1
C=
−i 1 −i
4 −6 2
B = 0 −1 4
3 1 1
Realizar, en caso que sea posible las siguientes operaciones:
a) A B
e) A3
Ejercicio 7 Si B t At =
b) A C
f ) A At C
5 8 4
−5 0 −3
yC=
c) C C ∗
d ) At B
4 + 3i 6 − i 5
i
−6i 3
, hallar A · B · C.
Ejercicio 8 Sabiendo que A, B y C son matrices cuadradas del mismo orden obtener una
t
expresi´
on equivalente a At B + 2 A∗ B t C − I
tenga a lo sumo unaoperaci´on por matriz.
t
que no tenga par´entesis y que
Ejercicio 9 Sean A, B ∈ Cn×n tales que tr(A) = 2 y tr(B) = −3. Adem´as se sabe que
tr(A B) = 5. Hallar tr 2 At − tr A B + 5 A B − B A
Ejercicio 10 Si A, B, C ∈ Cn×n tales que A B t A +
1 ∗
C = 0, despejar C.
3
Ejercicios de sumatoria
Ejercicio 11 Desarrollar:
8
12
2−j
a)
j=2
15
(−1)j j 2
b)
j=5
c)
j=7
j = 10
Ejercicio 12 Expresar comosumatorias que comienzan con k = 0.
3
1
j!
107
80
5k
a)
b)
k=7
k=−4
1
2
k +1
100
c)
k!
k=1
Ejercicio 13 Expresar como sumatorias que comienzan con k = 1.
107
80
5k
a)
b)
k=7
k=−4
1
2
k +1
100
c)
k!
k=0
Ejercicio 14 Aislar el primer y u
´ltimo t´ermino de las siguientes sumatorias para obtener una
expresi´
on equivalente.
n
n
3k
a)
b)
k=1
k=0
n
1
k!
k3
c)
k=−n...
Regístrate para leer el documento completo.