09 Aproximacion Teoria
Páginas: 9 (2061 palabras)
Publicado: 31 de marzo de 2015
El número real
MATEMÁTICAS I
1
APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL
1. APROXIMACIONES
Al expresar un número real con muchas o infinitas cifras decimales, utilizamos expresiones
decimales aproximadas, es decir, recurrimos al redondeo. Al realizar estas aproximaciones
cometemos errores.
Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se deben dar
con una cantidadadecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo
de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.
El error absoluto suele ser menor que 5 unidades del lugar siguiente al de la última cifra
significativa utilizada.
El error relativo es tanto menor, cuanto más cifras significativas se utilicen.
Al trabajar concantidades, en la vida real y en la mayoría de las aplicaciones prácticas, se utilizan
aproximaciones.
Ejemplos :
Sería absurdo decir que la capacidad de un pantano es 42.509.786 mil litros (8 cifras significativas). Es
más razonable decir que tiene 42.500 millones de litros.
Los presupuestos del estado se suele expresar en billones: 26,85 billones (4 cifras significativas)
El número π es un númeroirracional. Su valor es 3,141592653589793238... Como trabajar con ese
valor, a la hora de hacer cálculos, es imposible, suele tomarse un valor aproximado, que unas veces es
3,14 y otras, 3,1415.
Lola ha calculado que la altura de un edificio son las dos terceras partes de otro que mide 50 m. Al
realizar los correspondientes cálculos matemáticos, obtiene una altura de 2/3 · 50 = 33,333...m. En lapráctica, esta expresión decimal ilimitada se sustituye por un número decimal lo más sencillo posible,
por ejemplo, 33,3 m o 33,33 m, dependiendo del grado de precisión exigido.
En el primer caso estamos dando una aproximación por defecto y en el segundo caso una aproximación por
exceso.
Se aproxima un número cuando no se toman todas sus cifras o se sustituyen por ceros.
Una aproximación lo es pordefecto cuando resulta que es menor que el valor exacto al que sustituye y
por exceso cuando es mayor.
Ejemplos :
Dar una aproximación con tres decimales por defecto y otra por exceso de la fracción
Si pasamos a la forma decimal de dicha fracción obtenemos que
•
Una aproximación por defecto es 1,714
•
Una aproximación por exceso es 1,715
12
.
7
12
= 1,714285714…
7
Una aproximación o valoraproximado de un número consiste en sustituirlo por otro próximo a él. Para ello
se utilizan dos procedimientos: el redondeo y el truncamiento.
El número real
MATEMÁTICAS I
2
Para redondear un número entero o decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a dicho orden
n, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5 se aumenta a una unidad y en caso contrario se mantiene,
sustituyendo lascifras que vienen a continuación de la de orden n por ceros.
Ejemplos:
Si queremos redondear el número 238 a las decenas observamos que la cifra siguiente (8) es mayor
que 5, por tanto, reemplazamos el 3 por un 4 y completamos la siguiente por un cero. El número 238
redondeado hasta la decena es 240.
Igualmente podemos hacer con los números decimales:
13,25 redondeado a las décimas es 13,3.
12,513333... redondeado a las centésimas es 12,51
2,645751... redondeado a las milésimas es 2,646.
El truncamiento hasta un orden n es sustituir las cifras que hay a continuación por ceros. Así, el número 428
truncado a las decenas es 420 y hasta las centenas es 400.
Ejemplos:
Con los números decimales podemos decir:
13,25 truncado a las décimas es 13,2
12,513333... truncado a las centésimas es12,51
2,645751... truncado a las milésimas es 2,645
Observa que el truncamiento no siempre proporciona la aproximación más exacta de un número con la
cantidad de cifras deseadas, por lo que es preferible redondear.
Se llaman cifras significativas de un número a aquellas que se utilizan en la aproximación, contando desde
la primera cifra no nula hasta la cifra redondeada.
El orden de la última...
MATEMÁTICAS I
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APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL
1. APROXIMACIONES
Al expresar un número real con muchas o infinitas cifras decimales, utilizamos expresiones
decimales aproximadas, es decir, recurrimos al redondeo. Al realizar estas aproximaciones
cometemos errores.
Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se deben dar
con una cantidadadecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo
de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.
El error absoluto suele ser menor que 5 unidades del lugar siguiente al de la última cifra
significativa utilizada.
El error relativo es tanto menor, cuanto más cifras significativas se utilicen.
Al trabajar concantidades, en la vida real y en la mayoría de las aplicaciones prácticas, se utilizan
aproximaciones.
Ejemplos :
Sería absurdo decir que la capacidad de un pantano es 42.509.786 mil litros (8 cifras significativas). Es
más razonable decir que tiene 42.500 millones de litros.
Los presupuestos del estado se suele expresar en billones: 26,85 billones (4 cifras significativas)
El número π es un númeroirracional. Su valor es 3,141592653589793238... Como trabajar con ese
valor, a la hora de hacer cálculos, es imposible, suele tomarse un valor aproximado, que unas veces es
3,14 y otras, 3,1415.
Lola ha calculado que la altura de un edificio son las dos terceras partes de otro que mide 50 m. Al
realizar los correspondientes cálculos matemáticos, obtiene una altura de 2/3 · 50 = 33,333...m. En lapráctica, esta expresión decimal ilimitada se sustituye por un número decimal lo más sencillo posible,
por ejemplo, 33,3 m o 33,33 m, dependiendo del grado de precisión exigido.
En el primer caso estamos dando una aproximación por defecto y en el segundo caso una aproximación por
exceso.
Se aproxima un número cuando no se toman todas sus cifras o se sustituyen por ceros.
Una aproximación lo es pordefecto cuando resulta que es menor que el valor exacto al que sustituye y
por exceso cuando es mayor.
Ejemplos :
Dar una aproximación con tres decimales por defecto y otra por exceso de la fracción
Si pasamos a la forma decimal de dicha fracción obtenemos que
•
Una aproximación por defecto es 1,714
•
Una aproximación por exceso es 1,715
12
.
7
12
= 1,714285714…
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Una aproximación o valoraproximado de un número consiste en sustituirlo por otro próximo a él. Para ello
se utilizan dos procedimientos: el redondeo y el truncamiento.
El número real
MATEMÁTICAS I
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Para redondear un número entero o decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a dicho orden
n, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5 se aumenta a una unidad y en caso contrario se mantiene,
sustituyendo lascifras que vienen a continuación de la de orden n por ceros.
Ejemplos:
Si queremos redondear el número 238 a las decenas observamos que la cifra siguiente (8) es mayor
que 5, por tanto, reemplazamos el 3 por un 4 y completamos la siguiente por un cero. El número 238
redondeado hasta la decena es 240.
Igualmente podemos hacer con los números decimales:
13,25 redondeado a las décimas es 13,3.
12,513333... redondeado a las centésimas es 12,51
2,645751... redondeado a las milésimas es 2,646.
El truncamiento hasta un orden n es sustituir las cifras que hay a continuación por ceros. Así, el número 428
truncado a las decenas es 420 y hasta las centenas es 400.
Ejemplos:
Con los números decimales podemos decir:
13,25 truncado a las décimas es 13,2
12,513333... truncado a las centésimas es12,51
2,645751... truncado a las milésimas es 2,645
Observa que el truncamiento no siempre proporciona la aproximación más exacta de un número con la
cantidad de cifras deseadas, por lo que es preferible redondear.
Se llaman cifras significativas de un número a aquellas que se utilizan en la aproximación, contando desde
la primera cifra no nula hasta la cifra redondeada.
El orden de la última...
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