1.5.1 Caso En Que Las Varianzas Son Iguales
Páginas: 8 (1767 palabras)
Publicado: 5 de febrero de 2013
1.5.1 Caso en que las varianzas son iguales
Supóngase que se tienen dos poblaciones normales independientes con medias desconocidas µ1 y µ2, y varianzas desconocidas pero iguales, σ21 = σ22 = σ2. Se desea probar
H0 = µ1 = µ2
H1 = µ1 ≠ µ2
Sean X11, X12,…, X1n1 una muestra aleatoria de n1 observaciones tomadas de la primera población, y X21, X22,…, X2n2 una muestra aleatoria de n2observaciones tomadas de la primera población. Sean X1, X2, S21, S22 las medias muestrales y las varianza muestrales respectivamente. Puesto que tanto S21, como S22 son estimaciones de la varianza común σ2, pueden combinarse para formar un solo estimador, por ejemplo:
Para probar H0 = µ1 = µ2 de la ecuación (1), se calcula el estadístico de prueba.
Si H0 = µ1 = µ2 es verdadera, T0 tiene unadistribución tn1 + n2 – 2. Si t0 es el valor calculado del estadístico de prueba, entonces si
o si
Debe rechazarse H0 = µ1 = µ2.
Las alternativas unilaterales se tratan de manera similar. Para probar
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 > µ2
Se calcula al estadístico de prueba t0 de la primera ecuación y se rechaza H0 = µ1 = µ2 si
Para la otra hipótesis alternativa unilateral,
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 < µ2Se calcula el estadístico de prueba t0 y se rechaza H0 : µ1 = µ2 si
1.5.2 Caso en que las varianzas son diferentes
En algunas situaciones no es razonable suponer que las varianzas desconocidas , y son iguales. En este caso no existe una estadística t exacta para probar . Sin embargo, el estadístico
tiene una distribución que es aproximadamente una distribución t con grados de libertaddados por
si la hipótesis nula es verdadera.
1.6 Prueba t pareada
Se presenta un caso especial de las pruebas t de dos muestras., que es cuando las poblaciones de interés se recopilan en pares. Cada par de observaciones se toman bajo condiciones homogéneas, pero éstas pueden cambiar de un par a otro.
Un procedimiento experimental más poderoso, es recopilar los datos por pares. Entoncesel procedimiento de prueba consistiría en analizar las diferencias entre las pruebas. Si no existe ninguna diferencia, entonces la media debe ser cero. Este procedimiento se conoce como prueba t pareada.
Sean , …, un conjunto de n observaciones pareadas donde se supone que la media y la varianza de la población representada por son y , y la media y la varianza de la población representada porson y . Las diferencias entre cada para de observaciones se definen como Se supone que las están distribuidas de manera normal con media
y varianza , de modo que la prueba de hipótesis sobre la igualdad de y puede efectuarse al realizar una prueba t de una muestra sobre . De manera especifica. La prueba de contra es equivalente a probar
1.7 Pruebas de hipótesis sobre la varianza
Sepresentan dos procedimientos:
Procedimientos de prueba para una población normal
Supóngase que se desea probar la hipótesis de que la varianza de una población normal σ2 es igual a un valor especifico, σ20 . Sea X1, X2, . . . , X11 una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de esta población. Para probar
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 ≠ σ20
Se utiliza el estadístico de prueba
X20=
Donde esla varianza muestral. Ahora, si H0: σ2 = σ20 es verdadera,entonces el estadístico de prueba X20 sigue una distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad. Por consiguiente, se calcula el valor de la estadística de prueba X20, y la hipótesis H0: σ2 = σ20 debe rechazarse si
O si
Donde y son los puntos que corresponden a los porcentajes 100α/2 inferior y superior de la distribuciónji-cuadrada con n-1 grados de libertad, respectivamente.
El mismo estadístico de prueba se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales. Para la hipótesis unilateral.
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 > σ20
Se rechaza H0 si
Para la hipótesis unilateral
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 < σ20
Se rechaza H0 si
Procedimiento de prueba para muestras grandes
Cuando la población no es normal...
Supóngase que se tienen dos poblaciones normales independientes con medias desconocidas µ1 y µ2, y varianzas desconocidas pero iguales, σ21 = σ22 = σ2. Se desea probar
H0 = µ1 = µ2
H1 = µ1 ≠ µ2
Sean X11, X12,…, X1n1 una muestra aleatoria de n1 observaciones tomadas de la primera población, y X21, X22,…, X2n2 una muestra aleatoria de n2observaciones tomadas de la primera población. Sean X1, X2, S21, S22 las medias muestrales y las varianza muestrales respectivamente. Puesto que tanto S21, como S22 son estimaciones de la varianza común σ2, pueden combinarse para formar un solo estimador, por ejemplo:
Para probar H0 = µ1 = µ2 de la ecuación (1), se calcula el estadístico de prueba.
Si H0 = µ1 = µ2 es verdadera, T0 tiene unadistribución tn1 + n2 – 2. Si t0 es el valor calculado del estadístico de prueba, entonces si
o si
Debe rechazarse H0 = µ1 = µ2.
Las alternativas unilaterales se tratan de manera similar. Para probar
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 > µ2
Se calcula al estadístico de prueba t0 de la primera ecuación y se rechaza H0 = µ1 = µ2 si
Para la otra hipótesis alternativa unilateral,
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 < µ2Se calcula el estadístico de prueba t0 y se rechaza H0 : µ1 = µ2 si
1.5.2 Caso en que las varianzas son diferentes
En algunas situaciones no es razonable suponer que las varianzas desconocidas , y son iguales. En este caso no existe una estadística t exacta para probar . Sin embargo, el estadístico
tiene una distribución que es aproximadamente una distribución t con grados de libertaddados por
si la hipótesis nula es verdadera.
1.6 Prueba t pareada
Se presenta un caso especial de las pruebas t de dos muestras., que es cuando las poblaciones de interés se recopilan en pares. Cada par de observaciones se toman bajo condiciones homogéneas, pero éstas pueden cambiar de un par a otro.
Un procedimiento experimental más poderoso, es recopilar los datos por pares. Entoncesel procedimiento de prueba consistiría en analizar las diferencias entre las pruebas. Si no existe ninguna diferencia, entonces la media debe ser cero. Este procedimiento se conoce como prueba t pareada.
Sean , …, un conjunto de n observaciones pareadas donde se supone que la media y la varianza de la población representada por son y , y la media y la varianza de la población representada porson y . Las diferencias entre cada para de observaciones se definen como Se supone que las están distribuidas de manera normal con media
y varianza , de modo que la prueba de hipótesis sobre la igualdad de y puede efectuarse al realizar una prueba t de una muestra sobre . De manera especifica. La prueba de contra es equivalente a probar
1.7 Pruebas de hipótesis sobre la varianza
Sepresentan dos procedimientos:
Procedimientos de prueba para una población normal
Supóngase que se desea probar la hipótesis de que la varianza de una población normal σ2 es igual a un valor especifico, σ20 . Sea X1, X2, . . . , X11 una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de esta población. Para probar
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 ≠ σ20
Se utiliza el estadístico de prueba
X20=
Donde esla varianza muestral. Ahora, si H0: σ2 = σ20 es verdadera,entonces el estadístico de prueba X20 sigue una distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad. Por consiguiente, se calcula el valor de la estadística de prueba X20, y la hipótesis H0: σ2 = σ20 debe rechazarse si
O si
Donde y son los puntos que corresponden a los porcentajes 100α/2 inferior y superior de la distribuciónji-cuadrada con n-1 grados de libertad, respectivamente.
El mismo estadístico de prueba se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales. Para la hipótesis unilateral.
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 > σ20
Se rechaza H0 si
Para la hipótesis unilateral
H0: σ2 = σ20
H1: σ2 < σ20
Se rechaza H0 si
Procedimiento de prueba para muestras grandes
Cuando la población no es normal...
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