1. Diferenciación numérica métodos básicos

1. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
MÉTODOS BÁSICOS
ELEMENTOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explicita o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles. El método básico involucrado para aproximar se conoce como cuadratura numérica y se usa una suma de tipo i=0naifxi para aproximar.
Los métodos de cuadratura que discutiremos en este trabajo se basan en los polinomios interpolantes. Para comenzar se selecciona un conjunto de nodos {xo…xn} de un intervalo a [a,b]. Si Pn es el polinomio interpolante de Lagrage.
=i=0naifxi+1n*1!abi=0nx-xifn+1εxdx,
Donde εx esta en (a,b) para cada x y
ai=abLixdx, para cada i=0,1,…,n.
Antes de discutir la situación general de las formulasde cuadratura, consideremos las formulas que se obtienen usando polinomios de Langrage de primero y segundo grados con nodos uniformes espaciados, aquí estas formulas son la regla del trapecio y la regla de Simpson, que se discuten en los cursos de calculo.
Para derivar la regla del trapecio para aproximar abfxdx, (sean xo=a, x1=b, h=b-a ) usando el polinomio de Langrage:P1x=x-x1xo-x1fx0+x-x0xo-x0f(x1).
Entonces:
abfxdx= x0x1[x-x1xo-x1fx0+x-x0xo-x0f(x1)]dx
.
Como no cambia de signo en [xo, x1], el teorema del valor medio Ponderado para integrales puede aplicarse al termino de error y

Consecuentemente, la ecuación implica que:

Regla Rectangular

Es uno de los métodos utilizados para resolver integrales definidas en el cálculo numérico. Cuando se realiza un experimento,generalmente, se obtiene una tabla de valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realización de cualquier operación matemática sobre la nube de puntos, que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará condificultades considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre estas operaciones se encuentra la integración de funciones. Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de integración, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden integrar. Es decir, un gran número de integrales de funciones elementales no puede ser expresado entérminos de ellas. Entre estos casos singulares tenemos, a manera de ejemplo:

…

Para aclarar la contradicción antes señalada, se debe recordar la condición necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición la mencionamos de inmediato, sin demostración:

CONDICIÓN NECESARIA DE INTEGRABILIDAD
Si una función f es continua en el intervalo [a, b] , entonces f es integrable en [a, b]. Noobstante que las condiciones de la Proposición 1 son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x) cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.

Estos apuntes pretenden ilustrar al lector con una de las técnicas básicas que permiten resolver dichasituación, a través de la denominada “integración aproximada, por el método de los rectángulos”.

Modelo Rectangular: consistente en dividir el área que se desea encontrar en n sub-áreas en forma de rectángulos.

Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes variables:
* n: Número de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular
* Δx ó dx: Ancho o base de cadasub-área.
* li ó a: limite inferior definido para el calculo del área
* ls ó b: limite superior definido para el calculo del área.

Integración numérica de una función por el método de rectángulos

La integral definida entre los puntos a y b de una función continua y acotada f(x) representa el área comprendida debajo de esa función. En ocasiones es necesario calcular integrales...