Diferenciación numérica

Diferenciación Numérica

La diferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función que es muy engorrosa de derivar, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos experimentales. DIFERENCIAS FINITAS Para entender de una manera sencilla la desratización por diferencias finitas de una derivada debe tenerse en cuenta la interpretacióngeométrica de la derivada en un punto, que es la pendiente de la curva en el punto de interés. Considérense tres puntos intermedios en una curva
La derivada de la función f (x) en X = Xₒ es por definición matemática:



Aunque esta fórmula da una manera obvia de generar una aproximación de f’(Xₒ) dando valores de pequeños de h y calcular



Tenemos el problema de que f (Xₒ + h) y f (Xₒ) tendránvalores muy cercanos y en la operación de resta en la computadora habrá perdidas de cıfras significativas.

Usando polinomios de Lagrange de ajuste a tres puntos para aproximar f’(Xₒ): Teniendo como datos tres puntos igualmente espaciados en x (h es el paso):
=
=
=

Métodos
Método de Serie de Potencias

Consiste en desarrollar en serie de Taylor la función f(x) e integrar termino a término.Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida , es posible hacerlo desarrollando la serie.






Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un número determinado de términos. Este método este restringido a pocos casos prácticos y no es de aplicación general por las razones siguientes:
a) Es posible que no exista la serie de potencias.
b) La serie puede ser difícil dehallar.
c) Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo [a, b].
d) La serie puede converger muy lentamente.

Método Gráfico

Consiste en trazar la gráfica de f(x) en el intervalo [a, b] y medir el área bajo la curva. Esto puede lograrse con unos instrumentos llamados planímetros1.
Este método aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden ser utilizados paraobtener aproximaciones; los inconvenientes son:
a) La gráfica puede ser difícil de elaborar.
b) No es muy preciso ya que está sujeto a errores de medición.

Métodos Numéricos

Los métodos numéricos generan una sucesión de números de la forma:


El método numérico se detiene cuando se cumple algún criterio de convergencia preestablecidas con la precisión deseada.
Como no es posible integrardirectamente f(x), estos métodos aproximan la función f(x) por otra más simple que pueda integrarse.
Las funciones más utilizadas para este fin son los polinomios. Éstos se emplean con bastante frecuencia en métodos numéricos, por sus propiedades, en este caso porque pueden integrar fácilmente.
Existen varios métodos para la integración numérica basadas en polinomios.
Integración numérica

Objetivo deesta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir

Métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) está dada como un conjunto de valores tabulados.
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntosdefinidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.
La integración numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función que es muy engorrosa de integrar o que no posee anti-derivada, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos experimentales.
Aunque hay varios métodos de integración numérica, acá solo se mostrará en métodode los trapecios, ya que es el más sencillo de implementar y de entender.

Regla Rectangular

El método de la regla rectangular sirve para calcular el área bajo la curva entré dos límites conocidos dividiéndola en N sub área como un pequeño trapecio.
comprender el concepto de la integración aproximada.
entender la interpretación geométrica del método para integrales definida.
comprender el...