2003 2 2do Parcial A CR

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL COLEGIADO
ÁLGEBRA LINEAL

SEMESTRE
2003 - 2

24 DE MAYO DE 2003

TIPO “A”INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de
comenzar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. En el espacio vectorial \3 sedefine la función
3

xk yk
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ \ 3
k
k =1
determinar si la función f es un producto interno en \ 3 . En caso afirmativo obtener los valores de α ∈ \ para
queel vector r = ( α , 2 α , 3 α ) sea unitario; en caso negativo indicar los axiomas que no se cumplen.
f (x | y) = ∑

15 puntos

2. Sean P1 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor oigual a uno con coeficientes reales y
el producto interno en P1 definido por:
( p | q) = β

∫

2
−1

p( x)q ( x)dx

∀ p, q ∈ P1 ; β ∈ \, β > 0

Determinar el valor de β para que la distancia entre lospolinomios m( x) = −2 x + 1 y n( x) = 3 sea tres.
14 puntos

3. Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Demostrar que ∀ u , v ∈ V ; u ≠ 0, v ≠ 0 , se
cumple que
u −v

2

= u

2

+ v

2−2 u

v

cos θ

donde θ es el ángulo entre u y v .
14 puntos

2-A

4. Sean S = { ( x, y, z ) | x + y − z = 0 ; x, y, z ∈ \ } un subespacio de \ y el producto interno en \ definido
3

3

por

( x | y )= x1 y1 + 2 x2 y2 + 3x3 y3

∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ \ 3

Obtener una base ortogonal de S.
14 puntos

5. En el espacio vectorial complejo ^ 2 se define el producto interno usualcomo

( u | v ) = u1v1 + u2v2

∀ u = ( u1 , u2 ) , v = ( v1 , v2 ) ∈ ^ 2

donde v1 y v2 representan el conjugado de v1 y v2 , respectivamente. Determinar el número a ∈ ^ para que el
conjunto D = { (1 + i, 2i ) , ( 3 + i, a ) } sea una base ortogonal de ^ 2 . Además, a partir de la base D, obtener
una base ortonormal de ^ 2 .
14 puntos

6. Sean M 2 el espacio vectorial complejo de las...