22 Problemas De Geometr A Anal Tica Y C Nicas 3

Geometría analítica y cónicas__________________
1.

Hallar la ecuación de una recta que pasando por el punto P(3, 2) y forma un ángulo
de 30° con la recta r: x – 2y = 0.

2.

En el triángulo de vértices A(2, 4), B(2, 1) y C(4, 2), se traza una recta que pasa
por B forma un ángulo de 45° con el lado BC. Hallar el área de los dos triángulos
que se forman.

3.

De un trapecio rectángulo se conocenlos vértices A(1, 1) y B(2, 1) y se sabe que un
lado está en la recta r: x – y + 1 = 0. Hallar los otros vértices y calcular las
longitudes de sus lados y de sus diagonales. ¿Cuál es su área?

4.

Hallar la ecuación de una recta que divide el ángulo formado por r: 2x – y + 3 = 0 y
s: x + 2y – 2 = 0, en dos parte, una de ellas triple que la otra.

5.

Calcular m y n en las rectas de ecuaciones: porr:mx – 2y + 5 = 0 y s: nx + 6y – 8 = 0
sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por el punto P(1, 4).

6.

Dadas las rectas: por r: 3x – y – 9 = 0 y s: 3x – ky – 8 = 0, calcula el valor de k para
que r y s se corten formando un ángulo de 60º.

7.

Halla un punto del eje de abcisas que equidiste de las rectas: por r: 4x + 3y + 6 = 0
y s: 3x + 4y – 9 = 0.

8.

De todas las rectas que pasan porel punto A(1, 2), halla la pendiente de aquella
cuya distancia al origen es 1.

9.

Hallar la ecuación de una circunferencia de centro C(3, 1) y es tangente a la recta
que tiene por ecuación r: 3x – 4y + 5 = 0.

10.

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas
A(0, 0), B(3, 1) y C(5, 7)?

11.

¿Cuál es el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x + 2y+ 1 = 0? Estudiar
la posición relativa de la recta y = x y esa circunferencia.

12.

Estudiar la posición relativa de la circunferencia Γ: x2 + y2 - 6x – 4y – 12 = 0
respecto de cada una de las siguientes rectas:
s1: 3x – 4y – 26 = 0

s2: 5x – 8y + 60 = 0

s3: 3 x – 4 y – 1 = 0

Si alguna de ellas corta a Γ, hallar los puntos de corte.
13.

¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a lacircunferencia x2 + y2 = 9?

14.

Hallar los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición
relativa:
a)

⎧⎪x 2 + y 2 − 6x − 16 = 0
⎨
2
2
⎪⎩ x + y − 4 = 0

b)

⎧⎪x 2 + y 2 − 6x − 4y + 9 = 0
⎨ 2
2
⎪⎩ x + y − 6x + 2y + 9 = 0

15.

Halla la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados 3x - 2y = 0,
y = 0, y 4x + 3y – 50 = 0.

16.

Halla la ecuaciónde la circunferencia que pasa por A(–3, 2) y B(4, 1) y es tangente
al eje OX.

17.

Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto A(7, 2), es
tangente a la recta r: 3x – 4y – 13 = 0

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18.

Hallar los vértices, los focos, los puntos de corte con los ejes, la excentricidad y
representalas siguientes elipses:
a)

19.

x2
100

+

y2
36

=1

b)

x2
64

y2

+

100

=1

c)

9x 2 + 25y 2 = 25

Hallar la ecuación de las elipses determinadas por:
a)

Focos en (–2, 0) y (2, 0) y eje mayor de longitud 10.

b)

Focos en los puntos C( 5 , 0) y C'(– 5 , 0) y que pasa por P(8/3, 1).

c)

Focos F(2,3) y F’(–4, 3) y semieje menor b = 4.

x2

+

y2

= 1 con la circunferencia cuyo centro

20.Halla los puntos de intersección de la elipse

21.

Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x2 + 3y2 = 28 y la recta 5x + 3y = 14. Y
las ecuaciones de las tangentes a la elipse en los puntos de intersección con dicha recta.

22.

Hallar los vértices, los focos, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas, la
excentricidad y representa las siguientes hipérbolas:

25
es el origende coordenadas y pasa por los focos.

a)
23.

x2
100

−

y2
36

=1

b)

y2
4

−

x2
36

9

=1

c)

9x 2 − 4y 2 = 36

Determinar la ecuación de la hipérbola determinadas por:
a)

Tiene los focos (–4, 0) y (4, 0) y la distancia entre los vértices es 4.

b)

Sus asíntotas que son las rectas y = ±

c)

Sus asíntotas que son las rectas y = ±

x2

1
5
3
4

x y su vértice está en el punto V(2, 0).
x y...