301301 66 Momento 6

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

ANA MILAGROS GUERRERO ROMO CÓDIGO: 1075223333
JUAN PABLO BECERRA CÓDIGO: 1057597918
ANA XIMENA NIEVES CASTRO CÓDIGO:

49607394

YERLY TATIANA SERENO CARPIO CÓDIGO: 1065894229

Tutor:
WILLIAM MAURICIO SÁENZ

Grupo: 301301_66

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
2015

INTRODUCCIÓN
La geometría analítica o llamadatambién “Geografía Matemática” es la ciencia que combina
el Álgebra y la Geometría para describir figuras geométricas planas desde el punto de vista
algebraico y geométrico. Esto se podría resumir diciendo que dada gráfica, se debe
encontrar una ecuación que la describa matemáticamente, o dando el modelo matemático,
hacer la figura que la muestre gráficamente. En este orden de ideas, el trabajo adesarrollar
será el análisis de diversas figuras geométricas como analizar las clases y propiedades de la
recta resolviendo secciones cónicas, sumatorias y productorias cuya estrategia de solución
requiera de explicar y analizar los fundamentos de la recta, para lograr una completa
interpretación en diferentes contextos. Por lo cual el aprendizaje es basado en tareas,
obteniendo como resultado unacorrecta comprensión de la unidad # 3.

ACTIVIDAD
Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. De la siguiente elipse 4x 2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
4𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 − 8 = 0
(4𝑥 2 − 8𝑥) + (𝑦 2 + 4𝑦) = 8
4(𝑥 2 − 2𝑥) + (𝑦 2 + 4𝑦) = 8
4(𝑥 2 − 2𝑥 + 12 ) + (𝑦 2 + 4𝑦 + 22 ) = 8 + 4 + 4 = 16
4(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2 16
+
=
16
16
16
(𝑥 − 1)2 (𝑦 +2)2
+
=1
4
16
𝑎2 = 16

𝑎=4

𝑏2 = 4

𝑏=2

h=1
K=-2

Centro
C (h, k)
C (1,-2)
𝐶 = √𝑎 2 − 𝑏 2
𝐶 = √16 − 4
𝐶 = √12
𝐶 = 3.46
Vértices
𝑉 1 = (1 − 4,2)
𝑉 1 = (−3, −2)
𝑉 2 = (1 + 4, −2)
𝑉 2 = (5 − 2)
Focos
F1 = (1 − 3.46, −2)
F1 = (−2.46, −2)
F 2 = (1 + 3.46, −2)
F 2 = (4.46, −2)

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones
indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor delongitud = 6.
La ecuación canónica de una elipse es:

(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2

Los valores del punto (h, K) corresponden al nuevo origen tras una traslación y como los
vértices tienen coordenadas no nulas, se ve afectado por una.
Los vértices son (3,1) y (3,9), como la entrada x es igual, el valor de h=3, porque se desplazó
la elipse 3 unidades a la derecha. La diferencia entre las y es 8, yesta distancia equivale
a 2c, es decir, c=4 y por lo tanto, y se desplazó 4 unidades hacia arriba. Todo esto nos lleva

a que la ecuación se transforma en:

(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
+
=1
𝑎2
𝑏2

Ahora solo falta obtener los valores de a y b. Además, como los valores de las ordenadas de
los vértices son distintos, la elipse es vertical y b>a.
Basta con recordar que a, b y c se relacionan en la elipse deesta forma (porque b>a):
𝑐 2 = 𝑏 2 − 𝑎2
Y como c=4 (y c2=16), entonces la ecuación anterior se transforma en:

16 = 𝑏 2 − 𝑎2

Despejando b2, se obtiene:
16 + 𝑎2 = 𝑏 2

Así la ecuación que debemos hallar (la de la elipse) se transforma en:
(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
+ 2
=1
𝑎2
𝑎 + 16

Hasta ahora, hemos logrado reducir todo a una sola incógnita de la variable a, cuando
encontremos su valor, se habráresuelto el ejercicio.
El último dato es sobre el eje menor, el cual corresponde a 2a (lo que necesitamos),
entonces como este eje mide 6, se concluye que a=3 (y a2=9), entonces la ecuación
canónica de la elipse buscada es:

(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
+
=1
9
9 + 16
(𝑥 − 3)2 (𝑦 − 4)2
+
=1
9
25

3. De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Análogamente a laelipse, llevamos la ecuación general de la hipérbola a su forma canónica.
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
4𝑥 2 − 16𝑥 − 9𝑦 2 − 18𝑦 − 29 = 0
4(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) − 9(𝑦 2 + 2𝑦 + 1) = 29 + 16 − 9

4(𝑥 − 2)2 − 9(4 + 1)2 =36
Dividir por 36 la ecuación anterior
(𝑥 − 2)2 (𝑦 + 1)2
−
=1
9
4
Centro
𝑎2 = 9

𝑎=3

𝑏2 = 4

𝑏=2

h=2
k=-1
C=(2, -1)
𝐶 = √𝑎 2 + 𝑏 2
𝐶 = √9 + 4
𝐶 = √13
C=3.60
Focos
𝐹1 = (ℎ − 𝑐, 𝑘)
𝐹1 = (2...