41 Riemann

´
Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
atica Aplicada, FI-UPM.

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´ DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
4. INTEGRACION
4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
La integral de Riemann est´a motivada por el c´alculo de ´areas de regiones planas. Concretamente, se
trata de hallar el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de una funci´on acotada positiva, sobre
un intervalo del eje de abscisas.
y
Sif : [a, b] −→ R es una funci´on acotada
f
y positiva, la integral de Riemann calcula
el ´area del recinto:
R(f ; a, b)
R(f ; a, b) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
a
x
b
O

4.1.1. Particiones de un intervalo

Una partici´
on del intervalo cerrado y acotado [a, b] es cualquier colecci´on finita de puntos del intervalo
que contenga a los extremos:
P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) ,
quelo dividen en n subintervalos [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n,
y se llama di´
ametro de la partici´on a la longitud del
mayor de ellos:

a
x0 x1

n≥1

x2

x3 · · · xi−1 xi · · · xn−1

b
xn

δ(P ) = max {x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 } = max {xi − xi−1 }
1≤i≤n

Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo [a, b], se dice que Q es m´as fina que P si P ⊂ Q, es
decir, si Q contiene todos los puntosde P . Obviamente, si Q es m´as fina que P , entonces δ(Q) ≤ δ(P ).

4.1.2. Sumas de Riemann
Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de una funci´on acotada f : [a, b] −→ R
asociadas a la partici´on P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) como:
n

s(f, P ) = m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + . . . + mn (xn − xn−1 ) =

mi (xi − xi−1 )
i=1
n

S(f, P ) = M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + . .. + Mn (xn − xn−1 ) =

Mi (xi − xi−1 )
i=1

donde mi y Mi son, respectivamente, el ´ınfimo y el supremo de f en el subintervalo [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n.
y

O

a
b
x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma inferior de Riemann es
la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen
por base los subintervalos y altura el ´ınfimo de la
funci´on en los mismos, que es menor o igualque
el ´
area limitada por la gr´afica y el eje x.

y

O

a
b
x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma superior de Riemann es
la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen
por base los subintervalos y altura el supremo de la
funci´on en los mismos, que es mayor o igual que
el ´
area limitada por la gr´afica y el eje x.

´
Agueda
Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´
aticaAplicada, FI-UPM.

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Cuando en cada subintervalo, en lugar de tomar los valores ´ınfimo o supremo, se toma el valor de la
funci´on en un punto intermedio αi ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n, se obtiene la suma de Riemann asociada a
dichos puntos:
n

S (f, P, {αi }) = f (α1 )(x1 − x0 ) + f (α2 )(x2 − x1 ) + . . . + f (αn )(xn − xn−1 ) =

f (αi )(xi − xi−1 )
i=1

Es f´acil comprobar que se verifican lassiguientes propiedades:
1. Cualquier suma de Riemann est´a comprendida entre las sumas superior e inferior asociadas a la
misma partici´on:
s(f, P ) ≤ S (f, P, {αi }) ≤ S(f, P )
2. Si Q es una partici´on m´as fina que P , entonces:
s(f, P ) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P )
3. Cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, es decir, para cualesquiera
particiones P y Q:
s(f, P )≤ S(f, Q)

4.1.3. Integral de Riemann
Se dice que una funci´on acotada f : [a, b] −→ R es integrable Riemann (o, simplemente, integrable)
cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y se representa
por:
b

f (x) dx = sup {s(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} = inf {S(f, P ) : P es partici´on de [a, b]}
a

Puesto que las sumas de Riemann est´ancomprendidas entre las sumas superiores e inferiores, cuando
una funci´on es integrable se puede definir tambi´en su integral como el siguiente l´ımite de sumas:
n

b
a

f (x) dx = lim S (f, P, {αi }) = lim
δ(P )→0

δ(P )→0

f (αi )(xi − xi−1 )
i=1

siendo este l´ımite independiente de la elecci´on de los {αi }.

4.1.4. Criterio de integrabilidad Riemann. Funciones integrables
Si f : [a, b] −→ R es...