72874961 2 Transformacion Esfuerzos

Mecánica de Materiales

Transformación de Esfuerzos
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Profesor: Juan F. Correal Daza, Ph.D.
Ph.D.,, P.E.

Concepto de esfuerzo en el plano
Viga de Concreto sin Refuerzo
Longitudinal
g

Viga de Concreto con Refuerzo
Longitudinal y sin Refuerzo Transversal

Concepto de esfuerzo en el plano
σZ
τZY

τZX
τXZ

τYZ

σY
σY

τXY τYX
σX
Estado General deEsfuerzos

τXY τYX

σX

σY

Esfuerzo Plano

τXY
σX

Esfuerzo Plano (vista en 2D)

Concepto de esfuerzo en el plano
Y

σY
τXY
θ

σX
θ
X

Y

Y´

Y

X´
θ
X

X

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
Convención de signos positivos
Y

+σY
+τXY

Y

Y´

Y

X´
θ
X

+σX

X
ƒEsfuerzo
Ef
normall + actúa
ú hacia
h i
afuera sobre todas las caras.
ƒEsfuerzo cortante + actúa hacia
arriba sobrela cara derecha del
elemento.

X
ƒAngulo θ + se mide desde el
eje x positivo en dirección
contraria a las manecillas del
reloj (regla de mano derecha).

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
σY

Y

Y´

τXY
θ

Y
X´

σX

θ
∆ A cos θ

θ
∆A
∆ A sen θ

X

X

Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano
Y´

Y´

Y

τx’y’∆ A

X´
θ

θ

∆A

∆ A cos θ

∆ A sen θ
+ΣFX’=0:

+

ΣFy’=0:

σY’ =

X

σx ∆A cos θ

θ

X´
σx’∆ A
θ
X

θ

τxy ∆A cos θ
θ

θ τxy ∆A sen θ
σy∆A sen θ

σX+σY
σ -σ
cos2θ + τxysen2
sen2θ
θ …(1)
+ X Y cos2θ
2
2
σ -σ
…(2)
sen2θ
θ + τxycos2
cos2θ
θ
τX’Y’= − X Y sen2
2
σX’ =

σX+σY
σ -σ
cos2θ
θ − τxysen2
sen2θ
θ
− X Y cos2
2
2

reemplazando θ = θ+90 en (1)

Esfuerzo planoplano- Ejemplo
Los esfuerzos en un punto B de una viga de acero son mostrados enla
figura.
fi
Determine
D
i ell esfuerzo
f
en dicho
di h punto a un ángulo
á l orientado
i
d a 41°
41°
con respecto a la horizontal y medido en contra de las manecillas del
reloj.
j Muestre el estado de esfuerzos planos
p
en un diagrama.
g

Elevación

Sección

Esfuerzo planoplano- Ejemplo

Esfuerzo planoplano- Ejemplo
Una placa rectangular de 3.0 pulg.
pulg. x 5.0 pulg.
pulg. esta formada por dosplacas
triangulares unidas por una soldadura
soldadura. La placa está sometida a un
esfuerzo de tensión y de compresión como se muestra en la figura.
Encuentre el esfuerzo normal y de cortante en la soldadura.

Esfuerzo planoplano- Ejemplo

Esfuerzos actuando en la soldadura:

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte
Como puedo encontrar el plano que me produce los esfuerzos
normales
lmáximos
á i
o mínimos?
í i
?
σX+σY
σ -σ
σX’ =
cos2θ
θ + τxysen2
sen2θ
θ
+ X Y cos2
2
2
dσX’
dθ

…(1)

σX-σY
2sen2θ
2sen2
θ + 2τxycos2
cos2θ
θ =0
= −
2

Resolviendo para θ:
Tan2θ
Tan2
θp =

τxy
(σX-σY) /2

Dos posibles soluciones θp1 y θp2 y
difieren en 90º
90º

σY

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte

θp2 = θp1+90
+90°°

Y´

τXY

σ2

σ1

X´

θp1
X

σX

=

Al reemplazar θp1 y θp2 en Eq.(1):
σ1,2 =

σX+σY
±
2

( σX2-σY )

2

+ τxy2

Si se reemplaza θp1 y θp2 en Eq. (2):
τx’y’ = 0

Esfuerzos normal máximo y mínimo
se define como:
esfuerzos principales en el plano y
los planos donde actúan se
denominan planos principales

En planos principales no actúa el esfuerzo cortante

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte
Como puedo encontrar el plano que me produce el esfuerzocortante
t t máximo?
á i ?
σX-σY
sen2θ + τxycos2
sen2θ
cos2θ
θ
τXX’Y’
Y =−
2
dτXX’Y’
Y
dθ

=0

Tan2θ
T 2θ
Tan2
2θs =

…(2)
( )

y resolviendo para θ:
−(σX-σY) /2
τxy

Dos posibles soluciones θs1 y θs2 y
difieren 90 º entre si y 45º
45º entre los
planos principales

Los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden encontrar
orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un
elemento
l
t quedefina
d fi los
l planos
l
del
d l esfuerzo
f
principal
i i l

Esfuerzo Principales Axiales
y Máximo de Corte

Al reemplazar θs1 y θs2 en Eq. (2):
τmax en plano =

(

σX-σY
2

2

)

Esfuerzo cortante máximo en el
plano xy

+ τxy2

Si se reemplaza
S
ee p
θs1 y θs2 een Eq.
q. (1):
( ):
σprom=

σX+σY
2

Esfuerzo normal sobre el p
plano de máximo cortante

σ2

Y´

σprom
σ1

=

τmax

σprom

X´...