Actividad

EJEMPLO 12
COSTO MÍNIMO

PROBLEMA

En una obra con aporte de la comunidad, se construirá un tanque
para almacenamiento de agua con las siguientes características:
 Base cuadrada horizontal y ladosrectangulares verticales.
 Sin tapa.
 Con capacidad de 4 metros cúbicos de agua.
 El material con que se construirá tiene un costo de $10 por
metro cuadrado.
¿Qué dimensiones del tanque minimizanel costo de material?

SOLUCIÓN

 PASO 1

Las variables en el problema son:
1) Las dimensiones del tanque
2) El costo de los materiales de construcción.
El costo depende del área total de la base yde los lados de los
cuales determinan la cantidad del material de la construcción.
 Denotemos “x” a la longitud de un lado
de la base.
 Denotemos “y” a la altura del tanque.

y

x
x

 Denotemos con“C” el costo total de
materiales debe minimizarse.

 PASO 2

C es igual al área del tanque multiplicada por $10 que es el
costo por unidad de área.
La base es un cuadrado con lado x de modo que tieneun área
igual a x². Cada lado es un rectángulo de dimensiones x,y con
un área xy.
Área de la base= x²
Área de cada lado= xy
Área total= x²+4xy

y

x²
x

C= (x²+4xy)10

xy

x

 PASO 3

La cantidadpor minimizar esta expresada como una función de
dos variables, de modo que necesitamos una relación entre x y y
a fin de eliminar una de estas.

C= (x²+4xy)10
Esta relación se obtiene del requerimientoestablecido en el
problema en el que el volumen del tanque tiene 4 metros
cúbicos.

4m3

O El volumen es igual al área

V= (x²)(y)

de la base por altura.

O Dada

la capacidad de 4
metros cúbicos.4= (x²)(y)

“y” (la altura)
para conocer el valor de la
variable “x” (lado de la base).

4
y =____
x²

O Despejamos

 PASO 4

y=

Sustituimos el valor de “y” en
la ecuación

4
x²

4

C= (x²+4x(
PASO 5

x²

))10 =

10[x² + 16x ] =
x²

10[x² +

Derivamos y obtenemos los puntos críticos:

d/dx C= 10 (2x – 16/x²)= 0

x – 8/x²= 0

2

x= 8/x²

x²x= 8

x3 = 8

x= 2

y

2

2

x=∛8

16

x

]...