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Propiedades de orden


es menor que
es menor que
es igual a
Para describir el tamaño relativo de dos números reales, usamos los símbolos de orden (menor que) y (menor o igual a), las cuales se llaman desigualdades.






Una desigualdad es una expresión , que se lee "a es menor que b “, como , se lee "b es mayor que a "; se lee " a es menor o igual que b", también la desigualdad puede ser de la forma lo que se lee" b es mayor o igual que a”.






















El teorema anterior se puede explicar en palabras como sigue:
(b) El sentido de una desigualdad no se modifica si el mismo número, se suma o resta de ambos lados de la desigualdad
(c) El sentido de una desigualdad no se modifica si ambaspartes se multiplican por el mismo número positivo.
(d) pero se invierte el sentido de la desigualdad si se multiplican ambas partes por el mismo número negativo.

(f) Si ambos lados de una desigualdad tiene el mismo signo, entonces el sentido de la desigualdad se invierte, adoptando la inversa de cada lado.


INTERVALOS

De especial interés son conjuntos de números reales llamadointervalos. Geométricamente un intervalo es un segmento de recta. Por ejemplo, si, entonces el intervalo cerrado de a es el conjunto.




Y el intervalo abierto de a es el conjunto.

Estos conjuntos son mostrados en la Figura 4.

Intervalos cerrados y abiertos se denotan por los símbolos y respectivamente, por lo que

=


Un intervalo puede incluir un punto finaly no el otro.
estos intervalos se llaman semiabierto (o algunas veces semicerrado). Por ejemplo.

= semiabierto por la derecha.
semiabierto por la izquierda.

Un intervalo puede extenderse indefinidamente en cualquiera de las direcciones positiva o negativa, estos intervalos se denotan por






Solución de desigualdades .
En los siguientes ejemplos usaremos el teorema quenos describe las propiedades de las desigualdades, las soluciones de las desigualdades se pueden escribir como intervalos o como conjuntos de números.

Ejemplo 1. Resolver .
Es decir, encontrar todos los números reales que satisfacen la desigualdad.
Solución. Si es una solución, entonces

[Hemos sumado 3 a ambos lados de la desigualdad.]
[multiplicamos ambos lados por ].Asique la solución de la desigualdad es el intervalo

Ejemplo 2. Resolver la desigualdad
Solución

[Sumamos -3 a ambos lados.]
[Sumamos -2a ambos lados.]
[Se multiplica ambos lados de la desigualdad anterior por ]


EJEMPLO 3. Resolver
Solución
[Dada.][sumamos -2 a cada uno de los miembros.]
[multiplicamos cada uno de los miembros por ]
Nótese que en el paso anterior la desigualdad se invierte, esto se debe a que hemos multiplicado la desigualdad por un número negativo.

Así que el conjunto de solución es

EJEMPLO 16. Resolver
Solución. Las soluciones son los valores de para los cuales los factores y tienen el mismosigno. De la figura, vemos que la solución son estos para los cuales


Vemos que las soluciones son los valores de para los cuales
por lo tanto el conjunto solución es


EJEMPLO 17. Resolver

Solución. Reescribimos la desigualdad como
[Restamos 1 de ambos lados.]
[resolvemos la fracción resultante]
[simplificamos.]


La solución sontodos los valores de para los cuales el cociente es negativo, esto ocurre si y solamente si el numerador y el denominador tienen signos opuestos. Esto sucede si y solamente si esta en el intervalo .
Ejercicios primera lista
Resolver las siguientes desigualdades y bosquejar la solución en una recta numérica
1.
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3.
4.
5.
6 .
7.

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11.
12....