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APLICACIÓN DERIVADAS

Función estrictamente creciente

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Función creciente

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Función estrictamente decreciente

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Función decreciente

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Crecimiento

Si f es derivable en a:
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Decrecimiento

Si f es derivable en a:
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Crecimiento

Si f es derivable en a:[pic]

Decrecimiento

Si f es derivable en a:
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Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento


Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos:f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
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4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
Del intervalo (−∞,−1) tomamos x = −2, por ejemplo.
f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f'(0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f'(2) = 3(2)2 −3 > 0
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5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) [pic](1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)


Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento[pic]
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Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos locales


Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0

Mínimos locales


Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1.f'(a) = 0
2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

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Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Intervalos de concavidad yconvexidad


Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si loshubiese).
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3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.

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4. Escribimos los intervalos:
Concavidad: (0, ∞)
Convexidad:(−∞, 0)

Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad

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En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
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Estudio de los puntos de inflexión

Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar los puntos de...