Ajuste Por Medio De Polinomios
Páginas: 3 (584 palabras)
Publicado: 7 de marzo de 2013
Ajuste por medio de polinomios
Polinomio de interpolación
Cuando se tienen m observaciones (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xm, ym), y se escogenfunciones base polinomiales φi(x) = xi−1, i = 1, . . . , n, la curva de ajuste toma la forma
y(x)=c1 +c2x+···+cnxn−1 con m≥n.
El caso particular enel que m = n da lugar al problema de encontrar el polinomio de interpolación. Es decir, suponiendo que los m puntos son distintos nuestro problema consiste en encontrar el polinomio de grado menor oigual a m − 1
p(x)=c1 +c2x+···+cmxm−1
que interpola los puntos (x1,y1), (x2,y2),..., (xm,ym), es decir, p(xi) = yi, i = 1,..., m.
El sistema deecuaciones obtenido es un sistema cuadrado de la forma
que se denomina sistema cuadrado de Vandermonde. La matriz A del sistema se denomina matriz de Vandermonde y esno-singular si los puntos x1, x2, . . . , xm son diferentes. De hecho puede demostrarse que
por ser los xi, i = 1,..., m, distintos. Por lo tanto, loscoeficientes c1, c2,..., cm, son únicos si los puntos de interpolación son todos distintos.
Ejemplo 4.1. Encontrar el polinomio de grado ≤ 10 que interpola los 11 puntosx = -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0
y = 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
Solución. Podemosutilizar el ambiente MATLAB para construir la matriz asociada de
Vandermonde de orden 11 × 11
También puede observarse que la matriz está mal condicionada pues cond (A) ∼ 109, lo cual permiteanticipar que debemos utilizar pivoteo para resolver el sistema cuadrado de Van- dermonde. Utilizando el algoritmo de factorización LU con pivoteo encontramos la siguiente solución aproximada (para los...
Polinomio de interpolación
Cuando se tienen m observaciones (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xm, ym), y se escogenfunciones base polinomiales φi(x) = xi−1, i = 1, . . . , n, la curva de ajuste toma la forma
y(x)=c1 +c2x+···+cnxn−1 con m≥n.
El caso particular enel que m = n da lugar al problema de encontrar el polinomio de interpolación. Es decir, suponiendo que los m puntos son distintos nuestro problema consiste en encontrar el polinomio de grado menor oigual a m − 1
p(x)=c1 +c2x+···+cmxm−1
que interpola los puntos (x1,y1), (x2,y2),..., (xm,ym), es decir, p(xi) = yi, i = 1,..., m.
El sistema deecuaciones obtenido es un sistema cuadrado de la forma
que se denomina sistema cuadrado de Vandermonde. La matriz A del sistema se denomina matriz de Vandermonde y esno-singular si los puntos x1, x2, . . . , xm son diferentes. De hecho puede demostrarse que
por ser los xi, i = 1,..., m, distintos. Por lo tanto, loscoeficientes c1, c2,..., cm, son únicos si los puntos de interpolación son todos distintos.
Ejemplo 4.1. Encontrar el polinomio de grado ≤ 10 que interpola los 11 puntosx = -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0
y = 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
Solución. Podemosutilizar el ambiente MATLAB para construir la matriz asociada de
Vandermonde de orden 11 × 11
También puede observarse que la matriz está mal condicionada pues cond (A) ∼ 109, lo cual permiteanticipar que debemos utilizar pivoteo para resolver el sistema cuadrado de Van- dermonde. Utilizando el algoritmo de factorización LU con pivoteo encontramos la siguiente solución aproximada (para los...
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