Ajuste A Curvas

Ajuste de Curvas

UNI-2012-2

Mecanismos para el Ajuste de Curvas

• Ajustar a los datos una función f(x) matemática
recta,
polinomios, exponenciales, curvas, etc.
La selección de la función f(x) según el comportamiento de los
datos para el análisis de su gráfico, pendiente, etc..

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Mecanismos para el Ajuste de Curvas
• Consideremos los siguientes puntos (xi,yi),i=1,2,… n.
resultados de datos experimentales de una medición en el
laboratorio.
• Se buscara determinar la ecuación que mejor se ajuste al
conjunto de valores medidos que represente la relación de
magnitudes que intervienen en el fenómeno que nos interesa.
• Los mejores ejemplos, son los casos de las curvas serian una
recta, parábola, etc.
• Recta:

y  ax  b

• Parábola:

y  ax 2 bx  c

• Exponencial:

y  a bx

Métodos de mínimos cuadrados
• Consideremos los siguientes puntos (xi,yi), i=1,2,… n. Queremos
construir una función f(x) que los puntos (xi,F(xi)), con i=1,2,… n casi
coincidan con los puntos anteriores.
• Denotando Di las desviaciones
• S= ΣDi2 con i=1,2,… n.
• Si S=0 entonces Di son iguales a cero y tendríamos que f pasa por
todos los puntosexperimentales.
• Para el caso lineal mostramos a continuación

Di

yi
axi+b

*
*

*

*
Di=yi-axi-b

*
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*

xi

Métodos de mínimos cuadrados
•
•
•
•

S= ΣDi2 con i=1,2,… n.
S= D12+ D22 +…..+ Dn2
S=(y1-ax1-b)2+…..+ (yn-axn-b)2
Para obtener el mínimo de S igualamos a cero las
derivadas parciales respecto a b y a
S
 2( y1  ax1  b)(1)  ...  2( yn  axn b)(1)  0
b
S
 2( y1  ax1  b)( x1 )  ...  2( yn  axn  b)( xn )  0
a

Métodos de mínimos cuadrados
• Donde:

 y  a x  nb  0
 x y  a  x  b x
i

i

2

i

i

i

i

0

• Resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos

a

 (x  x) y
 (x  x)
i

2

i

b  y  ax

i

Regresión Lineal
Se basa en la siguiente expresión matemática,que
relaciona dos variables, sea y, la variable dependiente y x, la
variable independiente, de la siguiente manera:

y  ax  b
Esta relación se resuelve a través de la solución de las
siguientes ecuaciones normales, donde la incógnitas son la
“a” y “b”.

 y  nb  a x
 xy  a x  b x
2

b 

y  a x
n

;

a

n xy   x y
n x 2    x 

2

Resumen de AjusteLineal de Tendencia
con Regresión Lineal de Mínimos Cuadrados
y = ax+b
donde,
b = ordenada origen
a = pendiente
x = variable independiente
y = estimación de la variable dependiente
a=

xi - x )yi

xi- x) 2
b =y-ax
donde,
n = número de mediciones
x =  x , valor medio x
n
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y = y , valor medio y
n

Ajuste Lineal de Tendencia con Mínimos CuadradosEjemplo:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
78

y
37
40
41
37
45
50
43
47
56
52
55
54
557

xy
37
80
123
148
225
300
301
376
504
520
605
648
3867

x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
650

78
 6.5
12
557
y
 46.42
12
xy  nx y 3,867  (12)(6.5)( 46.42)
a 2

 1.72
650  12(6.5) 2
 x  nx 2
x

b  y  ax  46.42  (1.72)(6.5) 35.2
y  35.2  1.72 x
y(13)  35.2  1.72(13)  57.56

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Línea de Tendencia Lineal : Ejemplo
Título del gráfico
60

50

Título del eje y

y = 1.7238x + 35.212
R² = 0.8034
40

30

20

10

0
0
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2

4

6

8

Título del eje x

10

12

14

Regresión Potencial
Si la nube de puntos de los datos de longitud y periodo de
un péndulo seaproxima a una función exponencial se
puede recurrir a la siguiente relación:

y  ax b
Para linealizar esta función se aplica logaritmos a ambos
miembros, mediante este procedimiento se obtiene una
ecuación logarítmica lineal:

Log y  Log a  b Log x
Y  Log y

B  Log a

X  Log x

Ab

 Log y  nLog a  b Log x
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 Log x Log y  Log a Log x  b (Log x)

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