Algebra 1

1.Espacio vectorial :es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio , una operacion interna ( llamada suma , definida para los elementos del conjunto)y una operacion externa (llamada producto por un escalar definida entre dicho conjunto y otros conjuntos con estructuras de cuerpo) con 8 propiedades fundamentales . Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo delos numeros complejos) es un conjunto V no vacio dotado de dos operaciones para las cuales sera cerrado.
Estas operaciones internas poseen :
1) Propiedades conmutativas es decir: u+v=v+u
2)Propiedades asociativas es decir:
U+(v+w)=(u+v)+w
*ejemplo de espacio vectorial: el espacio vectorial más conocido notado como Kn donde n>0 es un entero, tiene como elemento n-tuplas , es decir,sucesiones finitas de K de longitud n con las operaciones. Como se puede observar (u1,u2n...un)+(v1,v2...vn)=(u1+v1,v2+u2,un+vn)
*combinaciones lineales: una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjunto , multiplicados entre sí . La combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector de la forma:U=(K1.V1+K2.V2+...Kn.Vn)
*base y dimensión de espacio vectorial:
-definición de base: se llama base de un espacio vectorial a un sistema generador de dicho espacio que sea a la vez linealmente independiente
-ejemplo: la base canónica o base natural de Rn : e1=(1,0...0) e2 =(+,1...0)= en=(0,0...1) : esto quiere decir que son linealmente independiente porque forman un determinante no nulo
-definiciónde dimensión: todas las bases de un mismo espacio tienen el mismo número de vectores, esto se le llama dimensión de dicho espacio ,por lo tanto la dimension es el máximo numero de vectores independientes que podemos tener en el espacio. En otras palabras es el masximo rango que puede tener un conjunto de vectores.


2.Matriz de una transformación lineal
Si bien las transformaciones lineales puedenestudiarse sin hacer referencia a algunas de las bases de los espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.
Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una baseordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.
Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m
 Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el ejex, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) ¿Matriz A?

        Transformado de (1, 0) = (1, 0) 
        Transformado de (0, 1) = (0, -1)  
     Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

b) ¿ Matriz B?
 Transformado de (1, 0) = (-1, 0) 
       Transformado de (0, 1) = (0, -1)
     Entonces la matriz  de la transformación es:

 
ü Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de grado ≤ 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

     Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0) 
     Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0,0)
     Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0) 
     Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
     Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz  de la transformación es:


La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la...