algebra absstracta

Por supuesto que se puede aplicar, recuerda que en un grupo tienes la propiedad cancelativa

(ab)^2=a^2b^2                  esta es tu hipotesis
abab=aabb                         propiedad depotencias
bab=abb                            aplicas a^(-1) a la izquierda en ambos lados(prop cancelativa)
ba=ab                               aplicas b^(-1) a la derecha en ambos lados(propcancelativa)
por lo tanto G es abeliano
Probar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Qué es exáctamente lo que no puedes hacer?


.

Con eso es sencillo concluir.

Saludos.
PROBLEMA 2.23.
Bien tengo un problema con el siguiente ejercicio:
Si (G,*) es un grupo en el cual: para tres enteros consecutivos, para todo , demuestre que G es abeliano.

Ahora, como es lógico, yo empecépor la hipótesis, es decir:
lo que equivale a agrupando de manera adecuada y aplicando la ley cancelativa puedo eliminar la a de la derecha de cada lado de la igualdad, de igual manera procedo paracancelar la b... ahora a lo único que pude llegar de esta manera es: lo cual no me acerca a la demostración. Una idea sería fijar a i, i-1, i-2 como los tres enteros consecutivos que cumplen lapropiedad... pero de ahí no sé que hacer... si alguien me ayudaría le estaría muy agradecido.


Por hipótesis tenemos que existe tal que:


Tenemos:


Analogamente se demuestra que . Entonces:Cancelando los correspondientes elementos, obtenemos .

Saludos.
2.2.3
Si (G,*) es un grupo en el cual: [(a*b)= a^i * b^i]  para tres enteros consecutivos, para todo [a,b \in G] , demuestre que Ges abeliano.
supongamos que los 3 enteros consecutivos son i, i+1, i+2
1. (ab)^i=a^ib^i                                                  dato
2. (ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)                              dato
3. ababababab...ab= aaaaaa...abbbbb....b               prop de potencia
4. (ba)^i = a^ib^i                                                prop cancelativa a^(-1) izquierda, b^(-1)...