Algebra Abstracta

´ Departamento de Matematicas

´ ´ Edicion preliminar-version 02-2008

´ ALGEBRA ABSTRACTA Parte II: Teor´ de Grupos ıa
Luis Zegarra
Carrera de Matem´tica a Facultad de Ciencias y Tecnolog´ ıa Universidad Mayor de San Sim´n o

Copyright c 2008 por el Departamento de Matem´ticas - Facultad de Ciencias y Tecnolog´ a ıa

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Luis Zegarra

Serie Galois

ProgramaMEMIpreliminar-versi´n 02-2008 o

´ Indice general
1. 1. 2. 3. 4. 2. 1. 2. 3. 4. Grupos Definici´n y Ejemplos . . o Grupos de Permutaciones Grupos C´ ıclicos . . . . . . Ejercicios Adicionales . . . 3 3 15 21 25 29 29 37 46 51 55 55 62

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Homomorfismos y Subgrupos Homomorfismos . . . . . . . . . . Grupos Cocientes . . . . . . . . . Grupos Finitos . . . . . . . . . . Ejercicios Adicionales . . . . . . .

Normales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Acciones de Grupos 1. Acci´n de un Grupo sobre un Conjunto . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2. Ejercicios Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Prefacio

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Cap´ ıtulo 1

Grupos
En este cap´ ıtulo seempieza el estudio de grupos. Algebr´icamente un grupo es un conjunto con a una sola operaci´n binaria y de este manera los grupos forman una estructura m´s general que los o a anillos estudiados en los primeros tres cap´ ıtulos. Aunque algunos grupos est´n derivadas de anillos a a trav´s de ”olvidar ” una de las dos operaciones binarias, muchos grupos no tienen una relaci´n e o directa con anillos.´ 1. Definicion y Ejemplos En esta secci´n se define el concepto de un grupo, se descubre algunas propiedades elementales o de grupos, y se estudia los conceptos de un subgrupo y el producto de dos grupos. 1.1. Definici´n. o

´ Definicion 1.1. Un grupo G consiste de un conjunto no vac´ G junto con una operaci´n binaria ıo o (llamada operaci´n de grupo) y (por el momento) denotada como a ∗ b paraa, b ∈ G, que cumple los o axiomas que siguen: (1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c para cada a, b, c ∈ G (2) Existe un elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para cada a ∈ G (3) Para cada elemento a ∈ G existe un elemento d ∈ G tal que a ∗ d = d ∗ a = e. Un grupo G se llama finito (o de orden finito) cuando tiene un n´mero finito de elementos. En este u caso el n´mero de elementos de G se llama orden deG y se denota por | G |. Un grupo que tiene un u n´mero infinito de elementos se llama grupo de orden infinito. u Nota 1.1. El axioma (1) requiere que la operaci´n del grupo es asociativa. El elemento e, cuya o existencia garantiza el axioma (2) se llama identidad (o elemento identidad o elemento neutro) del grupo. Para a ∈ G, el elemento d ∈ G del axioma (3) se llama (elemento) inverso de a. Unaclase de grupos especiales son los que siguen: ´ Definicion 1.2. Un grupo G (con operaci´n de grupo ∗) se llama conmutativo o Abeliano cuando o a ∗ b = b ∗ a para cada a, b ∈ G. Nota 1.2. En lo que sigue generalmente se usa una notaci´n multiplicativo para grupos, es decir o se escribe ab en vez de a ∗ b. Sin embargo, cuando la operaci´n del grupo actualmente es la operaci´n o o aditiva de un...