Articulo álgebra abstracta


Anillos euclidianos.
*Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Nuevo León, San Nicolás de los Garza, Nuevo León.
(Mayo 17, 2012)
Resumen

Los anillos son un tipo de estructura algebraica bi-operacional, lo que significa, que poseen definidas dos operaciones, las que comúnmente se conocen como adición y multiplicación. En el presente artículo se muestran algunas delas definiciones y resultados fascinantes sobre los anillos euclidianos. Se define un anillo euclidiano, un anillo de ideales principales, cuándo se dice que un elemento divide a , un máximo común divisor, un elemento unidad, elementos asociados en un anillo conmutativo, elemento primo en un anillo euclidiano y primos relativos en un anillo euclidiano. Se presentan también el teorema defactorización única, entre otros teoremas y lemas importantes basados en anillos euclidianos.

Palabras clave: Anillo conmutativo, Anillo euclidiano, ideales principales, elemento unitario, elemento unidad, elemento primo, primos relativos, teorema de factorización única.
Euclidean rings.
Abstract
The rings are a type of algebraic structure bi-operational, which means, they have defined twooperations, which commonly are known as addition and multiplication. In this paper, we present some definitions and fascinating results on Euclidean rings. We define a Euclidean ring, a ring of principal ideals, when we say that an element divides , a greatest common divisor, a unit element, associated elements in a commutative ring, a element prime in a Euclidean ring and relatively prime in aEuclidean ring. They also have the unique factorization theorem, among other important theorems and lemmas based on Euclidean rings.
Keywords: Ring commutative, Euclidean ring, principal ideals, unitary element, identity element, prime element, relatively prime, unique factorization theorem.



1. Introducción.
La clase de anillos que ahora nos proponemos estudiar esta sugerida con varios ejemplos(el anillo de los enteros, los enteros gaussianos y los anillos de polinomios) la definición de esta clase de anillos está diseñada para incorporar en ella ciertas características sobresalientes de los tres ejemplos concretos que acabamos de mencionar.
De la familia de todos los anillos, algunos subfamilias tiene interés e importancia particular, por su relación en la aritmética o en lageometría, por ejemplo el anillo de enteros y de polinomios k(x). En estos anillos existe una noción de divisibilidad y un algoritmo de la división. Muchos resultados y conceptos relacionados con las ideas de divisibilidad, factorización, número primo, etc. de enteros son comunes a estos anillos.
2. Anillos euclidianos, divisibilidad y el teorema de factorización única.
Definición 1. Un dominio entero sedice que es un anillo euclidiano si en está definido un entero no negativo tal que:
1) Para cualesquiera, ambos distintos de cero, .
2) Para cualesquiera ambos distintos de cero, existen tales que donde o
No asignamos valor alguno a . Los enteros sirven como un ejemplo de anillo euclidiano, donde , actúa como la función que la definición requiere.
Teorema 1. Sea un anilloeuclidiano y un ideal de . Entonces existe un elemento tal que consiste exactamente en todos los para cualquiera.
Demostración.
Si consiste solamente en el elemento 0, para la afirmación del teorema se verifica.
Supongamos que:

luego que;

Como toma solo valores enteros no negativos, entonces es posible escoger
tal que sea mínimo
Supongamos que


Por las propiedades deanillos euclidianos;
/ donde o .
Como y es ideal de ,

Si combinamos esto con que ;
; pero , de donde

Si ,


y .

Introducimos la notación para representar al ideal de todos los múltiplos de .
Definición 2. Un dominio entero con elemento unidad es un anillo de ideales principales si todo ideal en es de la forma para algún .
Una vez que establezcamos que un...