Algebra booleana

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Instituto Tecnologico de la Laguna
Torreón, Coahuila

Algebra Booleana

Modulo: Matemáticas Discretas


Alumno: Agustín Jaime Cepeda Hernández



No Control: 11131036

Semestre: 1

Teoremas y Postulados

Postulados de Algebra Booleana

Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos yentre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ), las cuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:

(a) x + O = x
(b) x. 1= x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:

(a) x+y = y+x
(b) x y =y x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:

(a) x + (y + z) = (x + y) + z
(b) x (y z) = (x y) z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:

(a) x+(y z)=(x+y) (x+z)
(b) x (y+z)=(x y)+(x z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elementoúnico
Denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que

(a) x+x = 1
(b) x x = O

Teoremas

A continuación se presenta un conjunto de resultados fundamentales; pero basados en los postulados del 1 al 6 y que por lo tanto son válidos para cualquier álgebra de Boole. Estos resultados son presentados a manera de Teoremas y junto con los seis postulados representan lasreglas del juego para cualquiera que desee trabajar con el álgebra booleana.

Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es.

Expresiones duales. Dos expresiones se dicen duales una de la otra, si una se puede obtener de la otra cambiando las operaciones ( + ) por ( Y ) y viceversa y cambiando los O's por 1 's y viceversa.

Ejemplo.
Laexpresión A + B = 1 es dual de la expresión A Y B = O,

Teorema 1. Multiplicación por cero

a) A Y 0 = 0
b) A+1 = 1

Demostración del inciso (a)

Explicación:
A 0 = A0 + 0 0 es el neutro de la suma
= A 0 + A A el producto de una variable por su complemento da 0
= A( 0 + A) distributivita
= A (A)una variable más el neutro no se altera
= 0 una variable por su complemento da 0

Teorema 2. Absorción
a) A + AB = A
b) A(A + B) = A

Demostrando el inciso (a)

Explicación:
A + AB = A.1 + AB 1 es el neutro del producto
= A(1 + B) distributividad
= A(1) Teorema 1
= Aes el neutro del producto

Este teorema se puede usar en diversos casos de simplificación, basta con usar identificar en una suma, una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

Ejemplos.

La expresión XY + XYZ por absorción es igual a XY
La expresión A+ AB por absorción es igual con A
etc.

Teorema 3. Cancelación

a) A + AB = A+ B
b) A(A + B) = A B

Demostración del inciso (a)

Explicación:

A + AB = (A+A)(A+B) distributividad
= 1.(A+B) la suma de una variable con su complemento es 1
= A+B 1 es el neutro del Producto

Este teorema se puede usar en la simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión Sumada Con su complemento multiplicado porotra expresión (o el dual).

Ejemplos:

La expresión A + ABC por cancelación es igual a A + BC
La expresión A + AB por cancelación es igual a A + B
La expresión XY + XY Z por cancelación es igual a XY + Z

Teorema 4. Cancelación

a) AB + AB = B
b) (A+B)(A+B)=B

Demostración del inciso (a)
Explicación:

AB + AB = (A+A )B distributividad
= 1.B la suma de...
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