Algebra de boole

ALGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que vigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirlacomo parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.Definición
Comenzaremos definiendo el Álgebra de Boole como el conjunto de elementos “B” que puede asumir dos valores posibles (0 y 1) y que están relacionados por dos operaciones binarias suma (+) y producto (*) lógico y además cumple con los siguientes postulados.

Definiciones básicas
• Una variable booleana (e.g. x, y) es un símbolo que puede ser substituido por un elemento delConjunto B={0,1}.
• Una constante booleana es un valor perteneciente al conjunto {0,1}.
• Una expresión o formula booleana (e.g. x+y, x·y,x’) esta compuesta de variables, constantes y operadores (e.g. +, ·, ’).
• Una función booleana de n variables f(x1, x2, ...,xn) es un expresión o formula que mapea a f un valor del conjunto booleano B (0 o 1).
• Un literal es una variable o sucomplemento.

Postulados
1) Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x (b) x. 1 = x

2) Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x (b) x y =y x

2) Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) = (x +y) + z (b) x (y z) = (x y) z

3) Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y z)=(x+y) (x+z) ( b) x (y+z)=(x y)+(x z)

4) Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
Denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x = 1 (b) x . x = O
Suma lógica
Cuando distintas variables lógicas se combinan mediantela función OR, el resultado toma el estado ALTO si alguna de ellas tiene dicho estado.
La operación OR es menos exigente que la AND por que sólo exige que alguna de las variables de entrada valga 1, para que la salida tome ese nivel. A la función OR también se le denomina Suma Lógica ya que se representa con el símbolo suma (+). En castellano recibe el nombre de operación O, puesto que la salidavale sólo 1 solo si presenta dicho valor la entrada A "o" la B. La ecuación que representa la función OR de dos variables de entrada es la siguiente:
A continuación se representa la tabla de verdad que representa a la ecuación anterior.
 Ecuación lógica de la función OR para dos variables de entrada
X= A + B
| VALOR EN LA PARTE A |VALOR EN LA PARTE B|VALOR OBTENIDO EN LA SALIDA |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1|
|1 |1 |1 |

Representación Grafica de la Compuerta
Producto lógico
La operación lógica AND, producen una variable de salida, que sólo toma el nivel lógico 1 o estado alto o verdadero, si todas ellas tienen dicho nivel o estado.
La operación...