Algebra de boole

Capítulo 4

Álgebra de Boole
4.1. Definición
El Álgebra de Boole, creada por el matemático inglés George Boole, es una estructura que relaciona la respuesta de un circuito lógico frente a la influencia de las variables de entrada, mediante dos operaciones denominadas “suma lógica” y “producto lógico”. Los teoremas del Álgebra de Boole se utilizan para simplificar funciones lógicas manipulandolas expresiones de manera similar al algebra ordinaria, teniendo en cuenta que los valores que adoptan las variables no son numéricas sino valores ó niveles lógicos. Considerando la lógica de contactos de la sección 3.4; la suma lógica se representa por medio de un circuito paralelo, mientras que el producto por un circuito serie.
A
Fig. 4.1.

B
(a)

(a) La suma lógica de (A+B)representado por un circuito paralelo. Interpretado como (A ó B)

A

B

(b) El producto lógico (A.B) representado por un circuito serie. Interpretado como (A y B).

(b)

4.2.

Expresiones de una función lógica

Una función lógica denotada mediante las operaciones de suma y producto lógico se pueden expresar de dos formas: como Suma de productos y como Producto de sumas.

Suma de productosf(A,B,C) = A + C + B f(A,B,C,D) = A C + BCD + A +
El término , es un término producto, ya que se está multiplicando por 1. Así:

Producto de sumas
f(A,B,C) = (A + )(A + )(B + C) f(A,B,C,D) = (B + C + )(A + B)( + D)

El término , es un término suma, ya que se está sumando con 0. Así:

4.3.

Teoremas del Álgebra de Boole

Los teoremas del Álgebra de Boole son herramientas muy potentespara la simplificación de funciones lógicas. Estudiaremos once propiedades cuya aplicación nos ayudará en la reducción de compuertas y circuitos integrados. Las cinco primeras propiedades (conocidos también como postulados) conllevan a la demostración de las siguientes propiedades. Las demostraciones de las siguientes propiedades se pueden realizar mediante tabla de verdad, lógica de contactos óalgebraicamente.

4.3.1.

Propiedad de Identidad

Existen dos elementos de identidad, uno para la suma y otro para el producto. El elemento identidad de la suma lógica ( + ) es 0; y el elemento identidad del producto lógico ( . ) es 1. Al sumar 0 a una variable cualquiera obtenemos la misma variable, del mismo modo, si una variable se multiplica por 1, se obtiene la misma variable. A+0=A
AA.1=A
1 A

A 0

A

4.3.2.

Propiedad conmutativa

Si al intercambiar la ubicación de cualquier par de variables, el resultado final no cambia. Se cumple tanto para la suma como para el producto. A+B=B+A

A

B

B A

A. B = B. A
A B B A

4.3.3.

Propiedad asociativa

Si sumamos dos variables (A+B) y luego le sumamos la variable C, es igual a sumar la variable A con la sumade (A+B). El procedimiento para el producto es análogo a la suma. Esto quiere decir que la propiedad asociativa en el Álgebra de Boole es idéntico al álgebra tradicional.
A B

(A + B) + C = A + (B + C)

A

C

B C

(A. B). C=A. (B. C)
A B C

A

B

C

4.3.4.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva se define respecto a las operaciones de suma o producto. Estoquiere decir que la operación suma es distributiva respecto a producto y viceversa. A + (B. C) = (A + B).(A + C)
A A A

B C B C

A.(B + C)=A. B + A. C
B A A B

C A C

4.3.5.

Propiedad del complemento

Toda variable lógica tiene su opuesto. Como una variable adopta un único valor de los dos posibles que existe, el opuesto o complemento de la variable adoptará el otro valor. Es decir, si A= 1, el complemento de A será igual a 0. El complemento de una variable se denota con una barra en la parte superior. De esta manera decimos que el complemento de A es . También se puede decir que el negado de A es . A+
A

=1

1
A

A. = 0
0
A A

IMPORTANTE

A partir de las propiedades o postulados anteriores es factible la comprobación de otras cuya importancia se aprecia en la...