Algebra de boole

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ÁLGEBRA DE BOOLE.
    El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejos.
    El objetivo principal de este tema esllegar a manejar los postulados y teoremas del álgebra de Boole como herramienta básica en el análisis y síntesis de circuitos digitales.
DEFINICIONES
1. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos).
2. Se define un conjunto de postulados que forman la base del álgebra.
3. Se constituyen los teoremas fundamentales del álgebra a partir de los postulados.

   A su vez, las exigencias y condiciones que deben reunir los postulados son:
1. Los postulados deben ser coherentes o consistentes para que una álgebra definida pueda desarrollarse por deducciones lógicas. En caso contrario, el sistema resulta contradictorio.
2. Los postulados deben ser independientes; es decir irreductibles recíprocamente (libre de reducciones)
3. Los postulados deben ser tansimples en su enunciado como sea posible; es decir, no separables en dos o más partes.

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1.2 POSTULADOS.

P.1. Existe un conjunto M de elementos sujetos a una relación de equivalencia denotada por el signo = que satisfacen el principio se sustitución.

P.2.a. Para toda (A, B) 0 M, A + B es una operación binaria (suma lógica) denotada porel signo +, tal que:
(A + B) 0 M
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.

P.2.b. Para toda (A, B) 0 M, A @ B es una operación binaria (producto lógico) denotada por el signo @, tal que:
(A @ B) 0 M
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.

P.3.a. Existe un elemento 0 0 M, tal que:
A + 0 = A
para toda A 0 M.

P.3.b. Existe un elemento 1 0 M, tal que:
A@ 1 = A
para toda A 0 M.

P.4.a. Para toda (A, B) 0 M:
A + B = B + A
Se satisface la propiedad conmutativa

P.4.b. Para toda (A, B) 0 M:
A @ B = B @ A
Se satisface la propiedad conmutativa

P.5.a. Para toda (A, B, C) 0 M:
A + (B @ C) = (A + B) @ (A + C)
Ley distributiva de la suma sobre el producto

P.5.b. Para toda (A, B, C) 0 M:
A @ (B + C) = (A @ B) + (A @ C)
Leydistributiva del producto sobre la suma

P.6.a. Para todo elemento A 0 M, existe un elemento A', tal que:
A + A' = 1

P.6.b. Para todo elemento A  0 M, existe un elemento A', tal que:
A @ A' = 0

P.7. Existen por lo menos (A, B) 0 M, tal que:
A ? B

    Se habrá observado cierta similitud entre estos postulados y los del álgebra ordinaria. Nótese sin embargo, que la primera leydistributiva P.5.a. no es válida en el álgebra ordinaria y que tampoco existe ningún elemento A' en dicha álgebra.
    También se notará que los postulados se presentaron por pares. Una observación más detenida, muestra que existe una dualidad entre los símbolos + y @, lo mismo que entre los dígitos 1 y 0. Si el símbolo + se sustituye por @ y @ por +, así como todos los UNOS se sustituyen porCEROS y los CEROS por UNOS, en cualquiera de los postulados de cada par, el resultado es el otro postulado. A causa de esta dualidad fundamental, cada teorema que se presenta tendrá su dual que se obtendrá efectuando la sustitución mencionada; por tanto, la demostración de un teorema implica la validez de su teorema dual.

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1.3 TEOREMASFUNDAMENTALES.
    A continuación se presentan los teoremas principales del álgebra de Boole, los cuales son la base del trabajo subsiguiente. Es posible demostrar dichos teoremas por cualesquiera de los siguientes métodos:
1. Algebraicamente (empleando postulados y teoremas ya demostrados).
2. Gráficamente (por medio de los diagramas de Venn).
3. Por inducción perfecta (empleando tablas de verdad)....
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