Algebra de boole

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE.
P1.- Principio de dualidad.
Si una proposición P es derivable de los axiomas de Álgebra de Boole, entonces la proposición dual de P es también derivable de los axiomas de Álgebra de Boole.
Demostración:
En efecto, al demostrar una proposición P empleando una sucesión de axiomas de Álgebra de Boole, la proposición dual de P se demuestra empleando la sucesióndelos axiomas duales.
P2.- Unicidad de los elementos neutros 0 y 1
i) Existe un único elemento neutro para la suma.
ii) Existe un único elemento neutro para la multiplicación.
P3.- Idempotencia
Todos los elementos de un Álgebra de Boole son idempotentes respecto a la suma y a la multiplicación. Esto es
i) a B  a + a = a
ii) a B  a . a = a
Demostración:
i) a = a + 0 =a + (a'. a) =(a + a') . (a + a) = 1. (a +a) = a + a
ii) La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad.

P4.- Identidad de los elementos 0 y 1.
i) a B  a + 1 = 1
ii) a B  a . 0 = 0
Demostración:
i) a + 1= a + (a + a') = (a + a) + a' = a + a' = 1
ii) La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad.
P5.- Absorción.
i) a, b B  a + (a .b) = a
ii) a, b B a . (a +b) = a
Demostración:
i) a + (a . b) = (a . 1) + (a . b) = a . (1 + b) = a
ii) La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad.
P6.- Unicidad del complementario
Cada elemento a de B admite un único complementario a' de B.
Demostración:
Sean a'1 y a'2 complementarios de a, se mostrará que son iguales
a'2 = a'2 + 0 = a'2 + (a . a'1 ) = (a'2 + a) . (a'2 + a'1 ) = 1 .(a'2 + a'1 )=
= (a + a'1) . (a'2 + a'1 ) = (a . a'2) + a'1 = 0 + a'1 = a'1

P7.- Involución
El complementario del complementario de un elemento a B es a. Esto es,
a B (a ' ) ' = a
P8.- Leyes de De Morgan
i) a, b B  (a +b)' = a' . b'
ii) a, b B  (a . b)' = a' + b'
Demostración:
i) (a + b) . (a' . b' ) = a . (a' . b' ) + b . (a' . b' ) = (a . a' ) . b' + (b . b' ). a' = 0
ii)La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad
P9.- Complementarios de 0 y 1
i) 0' = 1
ii) 1' = 0
P10.- Cancelatividad en la multiplicación
Si a, b y c son elementos de B, entonces se verifica que
[ a . b = c . b a . b' = c . b' ]  a = c
Demostración:
a = a .1= a .(b + b') = a . b + a . b' = c . b + c . b' = c . (b+ b') = c . 1 = c
P11.- Sin nombre especial
i) a, bB  a + a' . b = a + b
ii) a, b B a . (a' + b) = a . b
Demostración:
i) a + b = a + 0 + b = a + a . a' + b = a + (a . a' + b) = a + a . b + a' . b =
= (a + a . b) + a' . b = a + a' . b
ii) La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad.
P11.- Sin nombre especial
i) a, b B  a + a' . b = a + b
ii) a, b B  a . (a' + b) = a . b
Demostración:
i) a + b = a + 0+ b = a + a . a' + b = a + (a . a' + b) = a + a . b + a' . b =
= (a + a . b) + a' . b = a + a' . b
ii) La propiedad dual se demuestra empleando el Principio de Dualidad

FUNCIONES LOGICAS
Las funciones básicas que relacionan los valores provenientes de las proposiciones lógicas son: “y” “o” y “no”, estas funciones son utilizadas como conectivos entre proposiciones lógicas.
Si se toman lasdos primeras proposiciones lógicas planteadas, A y B, se pueden crear nuevas proposiciones de una mayor complejidad.
a. Función Y (AND)
“Es ingeniero y estudiante”
En esta frase se utiliza el conectivo “y”, la misma sólo será verdadera, en el caso en que ambas proposiciones que la conforman sean verdaderas. La relación entre las tres frases se escribe de la siguiente forma:
F = A . B
DondeF representa el valor de la afirmación “Es ingeniero y estudiante” y la operación existente entre las proposiciones A y B.
b. Función O (OR)
“Es ingeniero o estudiante”
Esta afirmación utiliza el conectivo “o” y será verdadera si alguna (o ambas) proposiciones son verdaderas. La relación entre las tres frases es la siguiente:
G = A . B
Donde G representa el valor de la afirmación “Es...