Algebra De Funciones Y Funciones Biyectivas

Algebra de Funciones y Funciones Biyectivas

1er Semestre de 2012

Algebra de funciones
Al igual que en los numeros reales, en el mundo de las funci´n o tambi´n podemos definir ciertasoperaciones. e

Definici´n 1 o
Sean f y g dos funciones. Hagamos D = Dom(f ) ∩ Dom(g ). Cuando D = ∅, podemos definir: 1. La suma de f y g por f +g : D → R x → (f + g )(x) = f (x) + g (x) 2. La diferencia def y g por f −g : D → R x → (f − g )(x) = f (x) − g (x) 3. El producto de f y g por fg : D → R x → (fg )(x) = f (x)g (x)

4. Sea D ′ = D − {x : g (x) = 0} . Definimos el cuociente de f y g por f /g :D ′ → R x → (f /g )(x) = f (x) g (x)

5. Sea α ∈ R. Definimos el producto por escalar de α y f por αf : Dom(f ) → R x → (αf )(x) = αf (x)

Ejercicios 1
1. Considerar las siguientes funciones: f: R → R x → 2x 2 + 3x + 1 g : ] − 2, ∞[ → R x → x −1

Definir, (f + g )(x),(fg )(x) y (f /g )(x). √ 2. Considerar f (x) = 2x x + 1 − 2x 3 . Encontrar g (x), h(x), s(x), de manera que f (x) = g(x)h(x) + s(x) Otra operacion sobre las funciones que tiene una mayor importancia, es la composicion de funciones, la cual se define de la siguiente forma:

Composici´n de Funciones o
Sean f : X → Y y g: Z → W y hagamos Dom(g ◦ f ) = {x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g )} Definimos la compuesta de f y g por g ◦ f : Dom(g ◦ f ) → W x → (g ◦ f )(x) = g (f (x)) En particular, Rec(f ) ⊆ Dom(g ), entonces Dom(g◦ f ) = Dom(f ).La compuesta de estas funciones se puede visualizar de la siguiente forma: X f Y g W

x

f (x)

g (f (x))

An´logamente, podemos definir f ◦ g por a

Ejercicios 2

dondeDom(f ◦ g ) = {z ∈ Dom(g ) : g (z) ∈ Dom(f )}. En particular si Rec(g ) ⊆ Dom(f ) entonces Dom(f ◦ g ) = Dom(g ). 1. Considerar las siguientes funciones: f : ] − 2, ∞] → R x → 4−x g : ] − 1, ∞[ → ] − ∞,1] x → −x 2 + 1

f ◦ g : Dom(f ◦ g ) → Y x → (f ◦ g )(x) = f (g (x))

2. Considerar las siguientes funciones: f : [−1, 1] → √ R x → 1 − x2

Definir, (g ◦ f )(x) y Calcular (g ◦ f )(4), si...