Algebra de matrices

1. MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES.

1.Definiciones.

Matriz: Se llama matriz de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y n columnas.

a11 a12 ..............................a1n
A = a21 a22 ..............................a2n
.............................aij.......................
am1am2..............................amn

Matriz fila: Es una matriz de orden 1xn

A = (a11 a12...........................a1n)

Matriz columna: Es una matriz de orden mx1

b11
B = b21
.
.
bm1

Matriz Cuadrada: Es una matriz que cumple que el nº de filas es igual al número de columnas.

Existen dos clases de diagonales: la principaly la secundaria.

a11 a12.................. a1n
a21 a22...........a2n-1 a2n
A = ....................................
an1 an2....................ann

a11 a22 a33 ann => fila=columna

Diagonal Principal: Aquella formada por los elementos a11 a22 a33... (solo en las matrices cuadradas).

Diagonal Secundaria: Aquella formada por los elementos a1na2n-1.....ann.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a un lado de la diagonal principal. Habrá matrices Triangulares Superiores, que son aquellas que tienen nula la parte inferior de la diagonal principal.

3 2 -7 Triangular Superior
A = 0 4 0
0 0 1 i > j => aij = 0

Matriz TriangularInferior: Es una matriz que tiene nula la parte superior de la diagonal principal.

-1 0 0
A = 3 2 0 i < j => aij = 0
-2 -1 3

Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos de ambos lados de la diagonal principal.

-1 0 0
D = 0 2 0
0 0 3

Matriz Unidad o identidad: Es una matriz diagonal quetiene todos los elementos de la diagonal principal igual a 1.

1 0 1 0 0
I = 0 1 I = 0 1 0
0 0 1

1 si i = j
aij=
0 si i = j

Matriz Traspuesta: Una matriz traspuesta de una matriz A, es la que se obtiene al convertir ordenadamente las filas a columnas, se representa por At.

A = (aij) mxn
At = (aij) nxm

2-1 3 2 0
A = 0 2 1 At -1 2
3 1
(2*3)
(3*2)

Matriz Simétrica: Una matriz simétrica de una matriz cuadrada A, es aquella que es igual a su traspuesta, es decir, son iguales todos los elementos que son simétricos respecto de la diagonal principal.

aij = aji

1 -1 2
A = -1 0 1
2 1 3Suma de matrices.

En el conjunto de matrices mxn se define una ley de composición interna llamada suma de matrices, de forma que si tenemos una matriz A=(aij)mxn y una matriz B=(bij)mxn se define matriz suma A+B=C

C=(cij)mxn; A,B Mmxn

De forma que cada (Cij) lo obtenemos de la suma de aij+bij

Ejemplo:
-1 2 3
A= 0 -1 2 4 1 5A+B=C= 0 0 -2

5 -1 2
B= 0 1 -4

Propiedades de la suma de matrices.

1. Conmutativa: Si yo sumo A+B obtengo el mismo resultado que si sumo B+A y eso se verifica sí A, B Mmxn

2. Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C); A, B, C Mmxn

3. El elemento neutro: Se llama matriz nula, se denota siempre Omn, es una matriz que todos sus elementos son0.

A+Omn=A, A Mmxn

4. El elemento opuesto: Que es la matriz opuesta se denota (-A)

A+(-A) = (-A)+A = Omn; A Mmxn

Producto de una matriz por un número real.

Dado el conjunto de matrices de orden Mmxn se define una ley de composición externa, llamada producto de un numero real por una matriz de orden mxn de forma que A=(aij)mxn y un numero...