Algebra II
Páginas: 36 (8962 palabras)
Publicado: 7 de junio de 2015
´
Algebra
II (61.08 - 81.02)
Resumen
fiuba-apuntes.github.io
´INDICE
´
Indice
Sobre el proyecto
¿Por qu´e usamos LaTeX? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Por qu´e usamos Git? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
1. Matrices
1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.Propiedades de la inversa, la traza y la traspuesta
1.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . .
1.4. Subespacios fila, columna y null . . . . . . . . .
.
.
.
.
4
4
4
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
2. Espacios vectoriales
2.1. Propiedades de los subespacios . . . .
2.2. Independencia lineal . . . . . . . . .
2.3. Operaciones con subespacios . . . . .
2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Coordenadas de un vector en una base
2.6. Matriz de cambio de base . . . . . . .
2.7. Teorema de la dimensi´on . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
8
8
8
8
3. Producto interno
3.1. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Producto interno can´onico . . . . .
3.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . .
3.4. Matriz asociada al producto interno
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
11
4. Proyecciones y matrices de proyecci´on
4.1. Propiedades de la proyecci´on . . . . . . . . . .
4.2. Proyecci´on y reflexi´on . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Proyecci´on y transformaciones lineales
4.2.2. Reflexi´on y transformaciones lineales .
4.3. Matriz deHouseholder . . . . . . . . . . . . .
4.4. Rotaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . .
4.6. Matrices de proyecci´on . . . . . . . . . . . . .
4.7. Inversas y pseudoinversas . . . . . . . . . . . .
4.8. Cuadrados m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Norma m´ınima . . . . . . . . . . . . .
4.9. Regresi´on lineal . . . . . . . . . . . . . . .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
13
14
14
14
15
15
16
16
17
5. Transformaciones lineales
5.1. Condiciones para las Transformaciones lineales. . . .
5.2. N´ucleo e Im´agen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Clasificaci´on de las Transformaciones lineales . . . . .
5.3.1. Monomorfismo(Inyectividad) . . . . . . . . .
5.3.2. Epimorfismo(Sobreyectividad) . . . . . . . . .
5.3.3. Isomorfismo(Biyectividad) . . . . . . . . . . .
5.4. Matriz asociada a una Transformaci´on lineal . . . . . .
5.5. Teorema fundamental de las...
Algebra
II (61.08 - 81.02)
Resumen
fiuba-apuntes.github.io
´INDICE
´
Indice
Sobre el proyecto
¿Por qu´e usamos LaTeX? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Por qu´e usamos Git? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
1. Matrices
1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.Propiedades de la inversa, la traza y la traspuesta
1.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . .
1.4. Subespacios fila, columna y null . . . . . . . . .
.
.
.
.
4
4
4
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
2. Espacios vectoriales
2.1. Propiedades de los subespacios . . . .
2.2. Independencia lineal . . . . . . . . .
2.3. Operaciones con subespacios . . . . .
2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Coordenadas de un vector en una base
2.6. Matriz de cambio de base . . . . . . .
2.7. Teorema de la dimensi´on . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
8
8
8
8
3. Producto interno
3.1. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Producto interno can´onico . . . . .
3.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . .
3.4. Matriz asociada al producto interno
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
11
4. Proyecciones y matrices de proyecci´on
4.1. Propiedades de la proyecci´on . . . . . . . . . .
4.2. Proyecci´on y reflexi´on . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Proyecci´on y transformaciones lineales
4.2.2. Reflexi´on y transformaciones lineales .
4.3. Matriz deHouseholder . . . . . . . . . . . . .
4.4. Rotaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . .
4.6. Matrices de proyecci´on . . . . . . . . . . . . .
4.7. Inversas y pseudoinversas . . . . . . . . . . . .
4.8. Cuadrados m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Norma m´ınima . . . . . . . . . . . . .
4.9. Regresi´on lineal . . . . . . . . . . . . . . .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
13
14
14
14
15
15
16
16
17
5. Transformaciones lineales
5.1. Condiciones para las Transformaciones lineales. . . .
5.2. N´ucleo e Im´agen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Clasificaci´on de las Transformaciones lineales . . . . .
5.3.1. Monomorfismo(Inyectividad) . . . . . . . . .
5.3.2. Epimorfismo(Sobreyectividad) . . . . . . . . .
5.3.3. Isomorfismo(Biyectividad) . . . . . . . . . . .
5.4. Matriz asociada a una Transformaci´on lineal . . . . . .
5.5. Teorema fundamental de las...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.