Algebra Lineal Diagonalización

DIAGONALIZACION
Definición 1: Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y que el operador T es diagonalizable si y sólo si existe una base de V tal que matriz diagonal. Observación: Engeneral se dice que una matriz A en la transformación lineal definida por Definición 2: Sean V un K-espacio vectorial y a) Se dice que . b) Se dice que . . tal que tal que . Se dice es una

esdiagonalizable si y sólo si es diagonalizable.

es un valor propio de T si y sólo si existe es un vector propio de T si y sólo si existe

Definición 3: Sea un valor propio asociado a la transformaciónlineal . Se define el espacio propio como el conjunto de todos los vectores propios asociados a . Teorema 1: Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre K, B una base de V y entonces, en K es unvalor propio asociado a T si y sólo si Proposición 6: Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre K, B y C bases de V y entonces Definición 4: Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y Buna base de V y . Se define el polinomio característico de T por . Para el caso particular de la transformación lineal , el polinomio característico se denota por , donde . Proposición 7: Sean V unespacio vectorial de dimensión n sobre K y . El escalar en K es un valor propio de T si y sólo si es una raíz del polinomio característico de T .

Teorema 2: Sea V un espacio vectorial de dimensión nsobre K. Sea que y sean raíces del polinomio característico . 1) Si la multiplicidad de 2) Si entonces es r, entonces .

de modo

Teorema 3: Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre K yoperador T es diagonalizable si y sólo si y , la multiplicidad en ,

. El en K

Definición 5: Sea A una matriz de orden n, se dice que A es diagonalizable si existe una matriz P de orden n quecumple con , donde D es una matriz diagonal. P es la matriz formada por los vectores propios de la matriz A considerados como columnas mientras que D es una matriz diagonal tal que su elemento (i , i) es...