Algebra lineal notas

ÁLGEBRA LÍNEAL

“ESPACIOS VECTORIALES”

2.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales.
Subespacios. Isomorfismos entre espacios vectoriales.
ESPACIO VECTORIAL.
En este capítulo se analizaran conjuntos en los cuales exista una relación entre sus elementos, de
manera que se establezca el concepto de dependencia lineal.

En forma genérica, alos elementos de un espacio vectorial se les llama “vectores”, por lo que, en
este contexto, la palabra vector adquiere un significado más amplio.

DEFINICIÓN
En primera instancia se definirá lo que es un espacio vectorial, para tal efecto se considerará un
conjunto U y un campo K, cuyos elementos se conocen como vectores y escalares
respectivamente.

Para poder llegar a definir laestructura de espacio vectorial se requiere, además de las siguientes
operaciones:
1) Suma de vectores
2) Multiplicación de un vector por un escalar.
Regla de correspondencia (criterio)
(a, b) + (c, d) = (a+d, b+c)
(a, b) = (a,b)
Si estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades, entonces se tendrá un espacio
vectorial.

I. La suma forma un grupo abeliano con el conjunto U
II. Sedebe cumplir la cerradura de la multiplicación de un vector por un escalar.
III. Existe la distributividad tanto para la suma de vectores por un escalar, como para la suma de
escalares por un vector.
IV. Se cumple la homogeneidad para el producto de escalares por un vector.
V. Existe el escalar idéntico.
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Apuntes de Álgebra Lineal

Analíticamente lo anterior queda representado de lasiguiente manera.
I.

(U, +) Grupo Abeliano

 a, b, c  U

1) Cerradura:

U

2) Conmutatividad.

ab  ba
3) Asociatividad:
)+
4) Elemento idéntico.

a U
 e U e  a  a  e  a
5) Elemento inverso.

a U
 i U

ai  i a e

El elemento inverso no es único.
II.

Cerradura para la multiplicación por un escalar.
U

III.

Distributividades.

 a, b  U y ,  K

IV.

Homogeneidad.
K

9) (αβ)
V.

Escalar idéntico.
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Apuntes de Álgebra Lineal

a  U ;   K
10 )  a  a

EJEMPLO:

EJEMPLO:

EJEMPLO:
Espacio Nulo:
Contiene al vector nulo, ejemplo en polinomios: P= (0x2+0x+0)=

0

EJEMPLO:
PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.
De los diez postulados que integran la definición de espacio vectorial, losprimeros cinco se refiere
únicamente a la adición, y establecen que el sistema (V, +) es un grupo abeliano; por lo tanto, se
pueden enunciar las siguientes propiedades, las cuales son comunes a todos los espacios
vectoriales.

TEOREMA.

Si V es un espacio vectorial sobre K, entonces
i)

u , v , w V : u  v  u  w  v  w

ii ) El vector 0  e es único y es tal que:
iii )
iv )
v)
vi )v  0  v ; v V

El vector i es único y es tal que: v  i  0
La ecuación u  x  v tiene solución única en V
v V :
 ( v )  v
u , v V :  (u  v )  u  ( v )

Continuando con los postulados de la multiplicación por un escalar se establecen otras
propiedades que, junto con las anteriores, rigen los procedimientos algebraicos en un espacio
vectorial.

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Apuntes deÁlgebra Lineal

TEOREMA:
Sea V un espacio vectorial sobre K.

SUBESPACIO.
Es posible que un espacio vectorial tenga subconjuntos que sean, por sí mismos, espacios
vectoriales.
Subespacio vectorial.
Dado un espacio vectorial A y un subconjunto B de A, si B es también un espacio vectorial respecto
a las operaciones definidas en A, decimos entonces que B es un subespacio vectorial de A.
Todoespacio vectorial es subespacio del mismo.
Para facilitar la verificación de que un conjunto es subespacio vectorial o no, se dispone del
siguiente teorema.

Teorema: Dado un subconjunto B de un espacio vectorial A, se tiene que si:
1) El conjunto B es cerrado para la suma de dos elementos cualesquiera del conjunto y
2) El conjunto B es cerrado para la multiplicación de uno de sus...