Algebra Lineal Problemas

Algebra lineal
Ejercicio 1
Menciona si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales. En caso de no serlo menciona cuál de las propiedades es la que no cumple: 1. El conjunto de puntos de R 2 de la forma {(x, y ) ∈ R 2 , tales que y = −3x}

Solución: Probemos si satisface los diez axiomas que tiene que cumplir el conjunto de puntos para ser un espacio vectorial: Primero asignamos unnombre al conjunto de vectores en nuestro caso le llamaremos V por lo tanto V = {( x, y ) ∈ R 2 , tales que y = −3x}
Probando Axioma 1 Si x ∈ V y y ∈ V entonces x + y ∈ V (Cerradura bajo la suma) Sea u = ( x1 , y1 ) y v = ( x 2 , y 2 ) y además y = −3x entonces tenemos: u = ( x1 ,−3 x1 ) y v = ( x2 ,−3 x2 ) Realicemos la suma: u + v = (x1,−3x1 ) + (x2 ,−3x2 ) si desarrollamos la suma obtenemos:(x1 ,−3x1 ) + (x2 ,−3x2 ) = (x1 + x2 ,−3x1 + −3x2 ) = (x1 + x 2 ,−3(x1 + x2 )) y como x1 + x2 ∈ R
∴(x1 + x2 ,−3(x1 + x2 )) ∈V un número real ∴ xn ∈ R si hacemos x1 + x2 = xn y la suma de dos números reales es ⇒ ( x1 + x2 ,−3(x1 + x2 )) = ( xn ,−3 xn ) ∈V Con el cambio de variable x1 + x2 = xn en las líneas anteriores se puede observar claramente que la suma de los vectores u, v si esta dentro delconjunto V por lo tanto Si cumple la Cerradura bajo la suma o si cumple el axioma 1.

Probando Axioma 2 Para todo x, y y z en V , ( x, y ) + z = x + ( y + z ) (Ley asociativa de la suma) Sea u = ( x1 , y1 ) , v = (x 2 , y 2 ) y w = (x 3 , y3 ) y además y = −3x entonces tenemos: u = (x1,−3x1 ), v = ( x2 ,−3x2 ) y w = ( x3 ,−3 x3 ) Realicemos la suma: (u + v ) + w = ((x1,−3x1 ) + (x2 ,−3x2 )) +(x3 ,−3x3 ) Recordando que primero se realizan las operaciones dentro de los paréntesis desarrollemos la suma en el orden correcto.
Solución de ejercicio 1 de la unidad 3 en la página 110 Página 1 de 11 Elaboró: Profesor José Orozco Martínez

((x1 ,−3x1 ) + (x2 ,−3x2 )) + (x3 ,−3x3 ) = ((x1 + x2 ,−3x1 + −3x2 )) + (x3 ,−3x3 ) (x1 + x2 ,−3x1 + −3x2 ) + (x3 ,−3x3 ) = (x1 + x2 + x3 ,−3x1 + −3x2 +−3x3 )
Si factorizamos los valores de x1 obtenemos: (x1 + x2 + x3 ,−3x1 + −3x2 + −3x3 ) = (x1,−3x1 )(x2 + x3 ,−3x2 + −3x3 ) Y como ( x2 + x3 ,−3x2 + −3x3 ) = u + w entonces (x1,−3x1 )(x2 + x3 ,−3x2 + −3x3 )

(x1,−3x1 )((x2 ,−3x2 ) + (x3 ,−3x3 )) = x + (u + w)

Por lo tanto si cumple la Ley asociativa de la suma o si cumple el axioma 2
Probando Axioma 3 Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x∈V , x + 0 = 0 + x = x (El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo) Sea u = ( x1, y1 ) y 0 = (0,0 ) y además y = −3 x realicemos la operación solicitada u = ( x1,−3 x1 )

= ( x1 + 0,−3 x1 + 0 ) Pero x1 + 0 = x1 y − 3 x1 + 0 = −3 x1 Entonces u + 0 = ( x1,−3 x1 ) con lo cual demostramos que si existe el idéntico aditivo (vector cero) en V o si cumple el axioma 3
Probando Axioma 4 Si x ∈ V existeun vector − x en V tal que x + (− x ) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x.) Sea u = (x1, y1 ) y además y = −3 x entonces − u = (− x1,− y1 ) tenemos: u = (x1,−3 x1 ) y - u = (− x1,3 x1 ) Realicemos la suma: u + (− u ) = ( x1,−3 x1 ) + (− x1,3 x1 )

⇒ u + 0 = ( x1,−3 x1 ) + (0,0 )

= ( x1 − x1,−3 x1 + 3 x1 )

= ( x1 − x1,3(− x1 + x1 )) como x1 − x1 = 0 − x1 + x1 = 0

(x1 − x1,3(− x1 + x1)) = (0,0) = u + (− u )
Con lo cual demostramos que si existe el inverso aditivo en V o si cumple el axioma 4
Probando Axioma 5 Si x y y están en V , entonces x + y = y + x (Ley conmutativa de la suma de vectores) Sea u = (x1, y1 ) , v = (x2 , y2 ) y además y = −3x entonces tenemos: u = (x1,−3x1 ), v = (x2 ,−3x2 ) Tenemos que comprobar que u + v = v + u u + v = (x1 ,−3 x1 ) + ( x2 ,−3 x2 ) = ( x1+ x2 ,−3 x1 + (− 3 x2 )) Reacomodando términos
Solución de ejercicio 1 de la unidad 3 en la página 110 Página 2 de 11 Elaboró: Profesor José Orozco Martínez

(x1 + x2 ,−3x1 + (− 3x2 )) = (x2 + x1,−3x2 + (− 3x1 )) (x2 + x1,−3x2 + (− 3x1 )) = (x2 ,−3x2 ) + (x1,−3x1 ) (x2 ,−3x2 ) + (x1,−3x1 ) = v + u
Con lo cual demostramos que si existe la ley conmutativa de la suma de vectores en V o si...