Algebra Lineal

La teoría de juegos describe las situaciones envueltas en conflictos en los cuales el beneficio es afectado por las acciones y contra-reacciones de oponentes inteligentes. El juego suma-cero de dos- personas juega un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de juegos.
La teoría de juegos es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo,existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio.
Para desarrollar los conceptos de la teoría de juegos, considere el siguiente juego, en el cual el jugador Itiene dos opciones para escoger, y el jugador II tiene tres alternativas para cada elección del jugador I. La matriz de beneficios T se muestra a continuación:
| Jugador II |
| | j=1 | j=2 | j=3 |
Jugador I | i=1 | 4 | 1 | 3 |
| i=2 | 2 | 3 | 4 |
| | ______________________________________ |
| | La Matriz de Beneficios |
En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2)representan las dos estrategias posibles que el jugador I puede emplear, y las tres columnas (j = 1, 2, 3) representan las dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear. La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo que significa que un valor positivo tij es ganancia para el jugador I y una pérdida para el jugador II, mientras que un tij negativo representa ganancia para eljugador II y una pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador I utiliza la estrategia 2 mientras que el jugador II aplica la estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2 unidades y por lo tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en nuestro ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embargo, el objetivo es minimizar el beneficio del jugador I.
La representación grafica de los juegospodría ser observada como un Torneo que es jugado en una red de conexiones con direcciones. Bajo este esquema, existen dos tipos de nodos: terminales y continuos. Los nodos terminales no llevan a otros nodos, y el jugador I recibe el beneficio asociado a sus propios arcos. Los nodos continuos llevan a por lo menos un nodo adicional. Ambos jugadores seleccionas simultáneamente un nodo respectivo. Paraeste ejemplo numérico, a continuación se muestra el gráfico correspondiente. En esta red de conexión con direcciones los bordes van desde el vértice u hasta en vértice w, y si algún jugador elige el u mientras el otro elige el w, este último se encuentra en la cabeza del arco conectando dos nodos, por lo tanto recibe en beneficio tuw.

Una estrategia pura entre los pares (i. j) se encuentra enequilibrio si y solo si el elemento correspondiente tij es el mayor en su columna y el menor en su fila. Este tipo de elemento es llamado un punto de silla (por la analogía con la superficie de una silla).
Un "punto de decisión de equilibrio", es decir, un "punto de silla", es también conocido como un "punto mini-máximo", el cual representa una decisión para dos jugadores en la cual ninguno delos dos puede mejorar partiendo unilateralmente de ese punto.
Cuando no existe un punto de silla, se debe elegir una estrategia aleatoria. Esta es la idea detrás de una estrategia mixta. Una estrategia mixta para un jugador esta definida como la distribución de probabilidad sobre el conjunto de todas las estrategias. Nuestro ejemplo numérico es uno de estos casos. El jugador I puede asegurar queel beneficio será maxi minj tij = 2, mientras que el jugador II ajusta su juego suponiendo que el jugador I no recibe mas que min max tij = 3. El problema de cómo la diferencia [minj maxi tij] - [max min tij]  0 debería ser subdividida entre los jugadores se mantiene abierta. En tal caso, los jugadores buscan naturalmente estrategias adicionales de oportunidades para asegurarse ellos mismos que...