Algebra Lineal

Definición de wikipedia
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general unavariedad lineal.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
Ejemplos
[editar] Transformación lineal identidad

[editar] Homotecias
con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Sik < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
[editar] Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores deldominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagende toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.


una función lineal es la correspondencia
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
• Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformaciónlineal.
Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (suryectiva).
3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
Matriz asociada a una transformación lineal
Según la teoría de Brevis-Devaud. Una matriz asociada es la matriz formada por lascoordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en lasbases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
Definición de mi tecnológico
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuacioneslineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:
¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?
Si tiene soluciones ¿cuántas y cuales son?
Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si...