algebra lineal


UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA












NOMBRE: ROLANDO GARAY SALAZAR
CÓDIGO: 20120259F
SECCIÓN: A
PROFESOR: EMILIO LUQUE B.

NOVIEMBRE-2012


PROBLEMAS
1. Dados los subespacios de R3:

S1 = {(X1, X2, X3) є R3 / X1 - 2X2 + 3X3 = 0}
S2 = {(X1, X2, X3) є R3 / X1 – X2 + X3 = 0}

Hallar dim (S1+S2)
SOLUCION:
a) Hallando una base para S1:
X1 - 2X2 +3X3 = 0
X1 = 2X2 - 3X3
Luego se tiene:
(X1, X2, X3) = (2X2 - 3X3, X2, X3)
= X2 (2, 1, 0) + X3 (-3, 0, 1)
Entonces:
S1 = L {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}
Dim S1 = 2

b) Hallando una base para S2:
X1 - X2 + X3 = 0
X1 = X2 – X3
Luego se tiene:
(X1, X2, X3) = (X2 - X3, X2, X3)
= X2 (1, 1, 0) + X3 (-1, 0, 1)
Entonces:
S2 = L {(1, 1, 0), (-1,0, 1)}
Dim S2 = 2

c) Hallando una base para S1 ∩ S2

De S1: X1 - 2X2 + 3X3 = 0
X1 = 2X2 - 3X3…… (1)

De S2: X1 - X2 + X3 = 0…… (2)

(2) en (1):

(2X2 - 3X3) - X2 + X3 = 0
X2 - 2X3 = 0
X2 = 2X3


X1 = 2X2 - 3X3 4X3 - 3X3 = X3
X1 = X3

Luego para S1 ∩ S2 se tiene:
(X1, X2,X3) = (X3, 2X3, X3)
= X3 (1, 2, 1)

Entonces:
S1 ∩ S2 = L {(1, 2, 1)}
Dim S1 ∩ S2 = 1
Por el teorema: Dim (S1+S2) = Dim S1 + Dim S2 - Dim (S1 ∩ S2)
Dim (S1+S2) = 2 + 2 - 1
Dim (S1+S2) = 3




2. Sean los subespacios en R4:

V = {(x, y, z, t) є R4 / x – y + z - t = 0}
U = {(x, y, z, t) є R4 /2x+ y + 2z + t = 0}

Hallar la base y dimensión de V ∩ U

SOLUCION:

De V: x – y + z - t = 0
x = y - z + t…… (1)

De U: 2x + y + 2z + t = 0…… (2)

(2) en (1):

2(y - z + t) + y + 2z + t = 0
3y + 3t = 0
y = -t


x = y – z + t (-t) – z + t = -z
x = -z

Luego para V ∩ Use tiene:
(x, y, z, t) = (-z, -t, z, t)
= z (-1, 0, 1, 0) + t (0,-1, 0, 1)

Entonces:
S1 ∩ S2 = L {(-1, 0, 1, 0), (0,-1, 0, 1)}
Dim S1 ∩ S2 = 2



3. Dado T : R4 R3 tal que:

T (x, y, z, t) = (x – y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)

a) Probar que T es una transformación lineal.
b) Hallar N (T), Im (T) y sus respectivas dimensiones.

SOLUCION:a) Sea: x = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4)

Por probar: T (x + y) = T (x) + T (y)
I. T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4)
= T (x1 + y1 - x2 - y2 + 2x3 + 2y3 +3x4 + 3y4,
X2 + y2 + 4x3 + 4y3 +3x4 + 3y4,
x1 + y1 + 6x3 + 6y3 +6x4 +6y4)
=(x1 – x2 + 2x3 + 3x4, x2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4) +
(y1 – y2 + 2y3 + 3y4, y2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4)
= T (x) + T (y)
Por lo tanto: T (x + y) = T (x) + T (y)

II. λ є R, x є R4, T (λ x) = λ T (x)
T (λ x) = T λ (x1, x2, x3, x4) = T (λx1, λx2, λx3, λx4)
= (λx1 - λx2 + 2λx3 + 3λx4, λx2 +4λx3 + 3λx4, λx1 + 6λx3 + 6λx4)
= λ (x1 – x2 + 2x3 + 3x4, x2 + 4x3 + 3x4, x1 + 6x3 + 6x4) = λ T(x)
Por lo tanto: T: R4 R3 es una transformación lineal







b) Calculando el N(T)
N(T) = {(x, y, z, w) є R4 /T (x, y, z, w) = (0,0,0)}
T (x, y, z, w) = (0, 0, 0), de donde se tiene:
(x – y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w) = (0,0, 0)
Por igualdad se tiene:
y + 4z + 3w = 0 y = - 4z - 3w
x + 6z + 6w = 0 x...