Algebra Lineal

´ Algebra Lineal
Jorge Luis Arocha
versi´ n compilada el o 25 de abril de 2011

Jorge Luis Arocha P´ rez e Instituto de Matem´ ticas a Universidad Nacional Aut´ noma de M´ xico o e M´ xico D.F. 04510 e

BibTeX: @textbook{ArochaLA AUTHOR = {Arocha, Jorge L.} TITLE = {\’Algebra Lineal} YEAR = {2011} NOTE = {Available at combinatoria.matem.unam.mx} }

Mathematics Subject Classification 2000:00–01, 12–01, 15–01

c e °2011 Jorge Luis Arocha P´ rez o Permitida la reproducci´ n para uso individual y no comercial. a a Todos los dem´ s derechos est´ n reservados.

Introducci´ n o
´ Este libro lo escrib´ como texto b´ sico para el curso de “Algebra Lineal” para estudiantes ı a de Licenciatura que he impartido por muchos a˜ os en la Facultad de Ciencias de la Univer­ n sidad NacionalAut´ noma de M´ xico. o e ´ Se presupone que los estudiantes hayan cursado ya las materias de “Algebra superior” y “Geometr´a Anal´tica” o sea tengan ciertos conocimientos sobre matrices, vectores, polino­ ı ı mios, n´ meros complejos, etc. u ´ ´ El objetivo es desarrollar el algebra lineal sobre campos arbitrarios pero se hace enfasis en los reales, los complejos y los residuos m´ dulo un n´ meroprimo. Despu´ s de una intro­ o u e ducci´ n corta a la teor´a de campos se estudian los espacios vectoriales, las transformaciones o ı lineales, los determinantes y finalmente los teoremas de descomposici´ n de operadores. o a Por ahora, este libro no contiene pr´ cticamente nada de transformaciones bilineales, pro­ ductos escalares, espacios duales, ortogonalidad, tensores etc. En mis planesest´ escribir a una segunda parte o aumentar este libro con cap´tulos sobre estos temas. ı El material que comprende este libro es demasiado para un semestre y usualmente yo imparto en un semestre de los cap´tulos I—IV aquellas secciones que no est´ n marcadas ı a como avanzadas. Un segundo semestre podr´a comenzar con las secciones de polinomios so­ ı bre campos, continuar con la descomposici´ n deoperadores lineales y terminar con aquellos o temas que ya se˜ al´ , faltan aqu´. Otras secciones las escrib´ porque me parecieron un buen n e ı ı material de lectura complementaria para los alumnos curiosos. Este libro es inusualmente colorido y visualmente agresivo. La raz´ n de esto es que o cuando estaba en el papel de alumno yo prefer´a estudiar por las libretas de notas de mis ı compa˜ erasde clase. Se me hac´a muy f´ cil memorizar la imagen completa de una p´ gina n ı a a llena de rayas, ores, corazones etc. y dentro de todo esto, las matem´ ticas. La idea es que a cada p´ gina luzca visualmente diferente. He tratado dentro de lo posible, lograr esto. a Los caracteres de matem´ ticas est´ n en un color diferente. El texto y las secciones avan­ a a zadas est´ n marcados con unbirrete. Uso unos lentes para marcar aquello que el lector no a a debe dejar pasar. Errores comunas que cometen los que no est´ n familiarizados con el mate­ rial est´ n marcados con calaveras. Los teoremas est´ n resaltados visualmente, etc. a a Se incluyen m´ s de un centenar de ejercicios. Los ejercicios m´ s notables consisten en a a material adicional que un estudiante de matem´ ticas o f´sicadebe conocer tarde o temprano. a ı Las soluciones de los ejercicios no rutinarios se dan al final del libro. He compilado un glosario de t´ rminos que es a la vez un ´ndice del libro y un diccionario e ı de los conceptos introducidos y/o usados. Finalmente, incluyo una gu´a de estudio. De esta gu´a yo escojo las preguntas para los ı ı ex´ menes. Esto representa una ventaja enorme para los estudiantesya que una de las dificul­ a tades m´ s importantes de ser estudiante es comprender que es lo que se espera de ellos. a Jorge Arocha M´ xico D.F. Diciembre de 2010 e

IV

Cap´tulo 1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 1.1 Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....