algebra lineal

Algebra Lineal
Ulatina 2011

Erick Espinoza A.

´
Indice
1. Matrices

2

2. Determinantes

9

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales

10

4. Vectores en R2 , R3

18

5. Rectas en R3

24

6. Planos en R3

26

7. Espacios Vectoriales

30

1

1.

Matrices

Definici´n (Matriz)
o
Sean m ∈ IN y n ∈ IN . Una matr´ en IR de m filas y n columnas es una ordenamiento dela
ız
forma.


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 .
.
.
. 
 .
.
.
. 
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn
Donde cada aij con i = 1, 2, ...m y j = 1, 2, ..., n es un n´mero real y se llama elemento de la matriz.
u

Notaci´n:
o
Para designar las matrices usaremos letras latinas may´sculas: A, B, C, D, . . .
u
Si A es una matriz de m filas y n columnas se dice que es detama˜o mxn.
n

Ejemplo (Ejemplos de matrices)

1. A =


2 1
2. B =  −5 6 
2 7


−1 5 0
2 1 3

Algunos tipos de matrices
Definici´n (Matriz Cuadrada)
o
Si A es una matriz de tama˜o nxn, se dice que es una matriz cuadrada de orden n.
n
Definici´n (Matriz Identidad)
o
Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es la matriz identidad de orden n, si y solo
s´ loselementos de su diagonal principal son todos iguales a 1 y el resto 0; es decir;
ı
aij =

1 si i = j
0 si i = j

Adem´s se denota de la forma In donde n es el orden de la matriz cuadrada.
a
Ejemplo

2

1. I2 =




1 0 0
2. I3 =  0 1 0 
0 0 1

1 0
0 1

Definici´n (Matriz Nula)
o
Se define la matriz nula como una matriz de orden mxn de modo que todos sus elementos son cero
yse denota 0mxn .
Ejemplo
02x3 =

0 0 0
0 0 0

Definici´n (Matriz Transpuesta)
o
Sea A una matriz de tama˜o mxn se denota la matriz transpuesta como AT y se define de la
n
siguiente forma:
aij ∈ A ⇒ aji ∈ AT
Operaciones con Matrices
Definici´n (Adici´n de Matrices)
o
o
Sean A y B matrices de orden mxn, se
 

a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n  
A+B =  .
.
.
. +
.
.
.
.  
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn

define la operaci´n de adici´n de la siguiente forma:
o
o
 
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
b11 b12 . . . b1n
  a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
b21 b22 . . . b2n
.
.
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
.
.
.
.
.  
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
bm1 bm2 . . . bmn

Definici´n (Matriz fila por Matrizcolumna)
o
Sea A una matriz fila de tama˜o 1xn y B una matriz columan de tama˜o nx1, se define la
n
n
multiplicaci´n fila por columan de la siguiente forma:
o


b11
 b21 
A · B = a11 a12 . . . a1n ·  .  = a11 · b11 + a12 · b21 + . . . + a1n · bn1
 . 
.
bn1
Ejemplo


1 3 4


4
·  3  = 1 · 4 + 3 · 3 + 4 · 1 = 4 + 9 + 4 = 17
1
3






Definici´n(Multiplicaci´n de Matrices)
o
o
Sea A una matriz de tama˜o mxn, B una matriz de tama˜o nxs, se define la multiplicaci´n A · B
n
n
o
de la siguiente forma:
Primero tomemos A1 , A2 , . . . Am la filas de la matriz de A y B1 , B2 , . . . , Bs las columnas de B.
entonces:


A1 · B1 A1 · B2 . . . A1 · Bs
 A2 · B1 A2 · B2 . . . A2 · Bs 

A·B =
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
Am · B1Am · B2 . . . Am · Bs
Es importante notar que el tama˜o de la nueva matriz producto es de tama˜o mxs.
n
n
Ejemplo
1 2
3 4

·

5 6
7 8

=

1·5+2·7 1·6+2·8
3·5+4·7 3·6+4·8

=

19 22
43 50

Definici´n (Multiplicaci´n de matrices por un escalar)
o
o
Sea A una matriz de tama˜o mxn y se k ∈ Z se define la operaci´n k · A como:
n
o
k · A = k · aij , ∀i = 1, 2, . . . m, j = 1,2, . . . , n
Definici´n (Sustracci´n de matrices)
o
o
Sean A y B matrices de tama˜o mxn se define la operaci´n A − B de la siguiente forma:
n
o
A − B = A + −1 · B = aij − bij , ∀i = 1, 2, . . . m, j = 1, 2, . . . , n
Pr´ctica
a


1 −1 2
0 1 0

1. A =

B=

3 2 −3
−1 0 3




2 −3 0 1
1
C =  5 −1 2 2  D =  −1 
−1 0 3 3
0

Calcule:
a)
b)
c)
d)

2A + B
A −...