Algebra lineal




























SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: HOMOGÉNEOS Y HETEROGÉNEOS







Ecuaciones Lineales
Ecuación lineal es aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tresincógnitas
Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:







Figura1.1: Representación de la ecuación –x+2y=3 en el plano y del plano x+y+z=1 en el espacio.

Dos ecuaciones son equivalentessi tienen las mismas soluciones ó geométricamente representan la misma recta o plano
Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términosindependientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentescuando tienen las mismas soluciones.

Expresión matricial de un sistema
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:







Donde:















La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:







Se llama matriz ampliada del sistema y se representaría por (A|B) o bien por A*.

Ejemplo: El sistema:Matriz ampliada o aumentada es:







Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones. Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:
Reducción
Sustitución
Igualación
Método de Cramer

Eliminación o Reducción
a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales queresulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.
c)  Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.
d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.Sustitución
a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.
b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.



Igualación
a)Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.
b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.


Método de Cramer
El método deCramer consiste en calcular una división de los determinantes de 2 arreglos para cada incógnita del sistema, los arreglos que van en el denominador están formados por la matriz de coeficientes del sistema; si voy a encontrar X1 el arreglo del numerador mantiene los coeficientes de X2 en su posición normal y los coeficientes de X1 son reemplazados por los números independientes. Cuando calculo...