algebra lineal

Algebra Lineal
Problemas resueltos
M a Isabel Garc a Planas

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Primera edición: septiembre de 1993
Segunda edición: septiembre de 1994

Diseño de la cubieta: Antoni Gutiérrez


M. Isabel GarcíaPlanas, 1993

 Edicions UPC, 1993
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885
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ISBN: 84-7653-295-4
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A (JL)2 S & M a I

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Presentacion
Mis largos a~os de experiencia docente en la ETSEIB no solo impartiendo clases de
n
Algebra Lineal a los estudiantes de primer curso, sino preparando las colecciones de
ejercicios que losalumnos resuelven en sus clases de problemas, me han permitido reunir
una coleccion de estos, en los que el alumno encuentra especial di cultad. Despues de
resolverlos con todo detalle me ha surgido la idea de publicarlos para que puedan ser
de utilidad, ya no solo a los alumnos de la ETSEIB, sino a alumnos de cualquier otra
escuela politecnica e incluso a alumnos de facultades de ciencias.Algunos de los enunciados de los problemas estan inspirados en textos teoricos de
Algebra Lineal y el orden y reparto en cap tulos ha sido, obviamente, fuente de inspiracion el programa de la asignatura de Algebra Lineal de la escuela donde ejerzo mi
labor docente.

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INDICE
Cap. 1 Polinomios . . . . . . . . . . . .
Cap. 2 Espacios vectoriales . . . . . . . .
Cap. 3 Sistemas deecuaciones. Matrices .
Cap. 4 Aplicaciones lineales . . . . . . .
Cap. 5 Determinantes . . . . . . . . . .
Cap. 6 Diagonalizacion de endomor smos
Cap. 7 Forma reducida de Jordan . . . .
Cap. 8 Analisis matricial . . . . . . . . .
Apendice I Grupos . . . . . . . . . . . .
Apendice II Anillo de clases de resto . . .

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. 11
. 23
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. 51
. 73
. 85
. 99
. 117
. 131
. 141Polinomios y Fracciones racionales

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Cap tulo 1 Polinomios y fracciones racionales
1. Hallar el maximo comun divisor, por el algoritmo de Euclides, de los polinomios
P1 (x) = 2156x5 + 1120x4 ; 433x3 ; 179x2 + 32x + 4
P2 (x) = 1372x5 + 784x4 ; 245x3 ; 131x2 + 16x + 4
Solucion:
Recordando el teorema de Euclides:

MCD(P1 (x) P2(x)) = MCD(P2 (x) R(x))
Siendo R(x) el resto dedividir P1 (x) entre P2 (x)
Sabemos que

8 unidad en R x]
y al ser 2156 = 4:72 :11 y 1372 = 4:73 , multiplicaremos P1 (x) por 7 para evitar
fracciones al hacer la division de P1 (x) por P2 (x)
7:P1 (x) = P2 (x):11 + (;784x4 ; 336x3 + 188x2 + 48x ; 16)
R(x) = ;784x4 ; 336x3 + 188x2 + 48x ; 16
que simpli camos por ;4 quedando
R(x) = 196x4 + 84x3 ; 47x2 ; 12x + 4
P2 (x) = R(x) (7x + 1) + 0 luegoMCD(P2 (x) R(x)) = R(x)
MCD(P1 (x) P2(x)) = MCD( P1 (x) P2 (x))

por lo que:

MCD(P1 (x) P2(x)) = R(x) = 196x4 + 84x3 ; 47x2 ; 12x + 4

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Algebra Lineal. Problemas resueltos

2. Hallar las ra ces del polinomio P (x) = x4 ; x3 ; 3x2 + 5x ; 2 sabiendo que
una de ellas es triple.

Solucion:
La descomposicion en factores primos del polinomio sera:

P (x) = (x ; )3 (x ; )
Si...