Algebra lineal

INTRODUCCIÓN
El desarrollo de todo lo descrito en este documento tiene un origen que es necesario saber y comprender a la perfección para no generar confusiones ni dudas acerca de La interpretación geométrica de las soluciones de SEL, así como de Métodos de solución de un SEL. Haciendo referencia específicamente de “SEL”, que es Sistema de Ecuaciones Lineales.
Por las razones previamenteestablecidas es necesario que se aclaren ciertos conceptos, como lo es el de un SEL. Primeramente, una ecuación lineal puede tener dos formas; ya sea: ax+by=c, o bien, ax+by+cz=d. Una ecuación lineal en las n variablesx1, x2,…,xn se puede escribir en la forma a1x1+a2x2+…+anxn=b; donde los coeficientes a1, a2,…, any el término constante b son constantes. A continuación se podrán apreciar ejemplos deecuaciones lineales.
3x-4y=-1
r-s-t=9
3.2x1-0.01x2=4.6
X1+5x2=3-x3+2x4
x+y-z=1
Si trabajamos sobre las ultimas ecuaciones lineales, podemos reordenar la 4., quedando del siguiente modo: x1+5x2+x3-2x4=3.
Sobre la ecuación 5. Podemos observar que con unas cuantas modificaciones en la ecuación ésta ya sería lineal, por ejemplo: +y-=1.
Una solución de una ecuación lineal a1x1+a2x2+…+anxn=bes un vector [s1,s2,…,sn] cuyos componentes satisfacen la ecuación cuando se sustituye x1=s1, x2=s2,…, xn=sn.
Por lo que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, cada una con las mismas variables. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un vector que es simultáneamente una solución de cada ecuación del sistema. El conjunto solución de un SEL esel conjunto de todas las soluciones del sistema.

Sistema consistente: con el menos una solución. (También llamados sistemas compatibles)
Sistema inconsistente: sin solución. (También llamados sistemas incompatibles)


Para finalizar, debemos señalar que en un SEL existen diversos métodos para hallar la solución, sin importar de que tipo sea; así entramos en los temas de interés: Lainterpretación geométrica de las soluciones de SEL, así como de Métodos de solución de un SEL.

3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES DE S.E.L.
Según el tipo de solución que se obtenga de la resolución de un SEL, la solución tendrá una gráfica que describa las propiedades del SEL. A continuación se pueden apreciar algunas gráficas que demuestran el tipo de solución que un SEL podría tener.En los sistemas compatibles son los que tienen solucion y pueden ser de dos tipos

sistema compatible determinado es Decir tiene una solución única ya que las rectas se cortan en un punto.
El sistema es
y+x = 6
1 1 6

1 -1 2

y-x = -2

1 1 2

0 -2 -4

1 1 2
0 1 2
se concluye que como 1 es una constante y 2 es otra constantes entonces C=C por lo tanto se comprueba que esun sistema consistente determinado

ejemplo 2 x + y = 6 2 x - y = 2
Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatibledeterminado. Vemos la representación en el margen.


sistema compatible indeterminado Con infinidad de soluciones


Donde 0 a la izquierda es igual que C, entonces si
C=0 se comprueba que efectivamente se trata de un sistema consistente indeterminado con infinidad de soluciones

Método incompatible Sin solución
x + y = 3
x + y = - 1

Dibujamos las rectas que representan lassoluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible.

En este caso 0=C por lo tanto es un sistema inconsistente


3.4METODO DE...