Algebra Lineal

Capítulo 1

Las Matrices y sus Operaciones

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ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO JOSE ARTURO BARRETO,M.A.

CAPITULO 1. Las Matrices y sus Operaciones OBJETIVOS: Al terminar este capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de: 1. Manipular y reconocer la relación entre subíndices y posición de un elemento en una matriz. 2. Efectuar las operaciones básicas con matrices de pequeñas dimensiones. 3.Reconocer y utilizar las propiedades que rigen el álgebra de matrices( asociativas, distributivas, etc. ) en la simplificación de expresiones y la comprobación de fórmulas. 4. Determinar si matrices de dimensiones pequeñas son no singulares verificando la existencia de la matriz inversa. 5. Utilizar el hecho de que una matriz sea no singular para obtener conclusiones a partir de la manipulación deexpresiones algebraicas matriciales. Las aplicaciones “prácticas” tales como las matrices de adyacencia y las cadenas de Markov, no son el objetivo central, se presentan por razones de motivación y para ampliar el contexto. Si el instructor lo considera conveniente podría incluirlas en la evaluación. El autor considera que el énfasis en las aplicaciones, con cálculos matriciales, en los cursosbásicos de álgebra lineal, hace que los estudiantes, ávidos de calcular y de emplear recetas, se centren en ellas, olvidando la generalidad de los conceptos fundamentales que serán realmente aplicados en cursos avanzados. Es posible que utilizando herramientas como Matlab, en donde los cálculos, no consumen el tiempo del estudiante, salvo en la etapa de diseño de las especificaciones del problema y sumétodo de solución, permita avanzar en aplicaciones a modo de taller. La discusión sobre este punto de vista queda abierta.

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2 Capítulo 1

Las Matrices y sus Operaciones

1.- LAS MATRICES Y SUS OPERACIONES 1.1- Las Matrices Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como: 123 456 789 -4 2 8 1 2 -5 3 1 2 3 -4 -3 1 2 1 -8 7246 3217 1258

(1)

(2)

(3)

(4 )

La matriz *(1) es una matriz de cuatro filas y tres columnnas ( de dimensión 4x3). La matriz (2) es una matriz de 2 filas y 2 columnas (cuadrada, de dimensión 2x2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3 columnas (cuadrada, de dimension 3x3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas ( de dimensión 3x4). El número en la fila i, columna j, será denominado como aij. a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14a24 a34

La matriz

A=

es una matriz general de dimensión 3x4 (tres filas, 4 columnas) cuyos elementos se han denominado a11 , a12 , a13 , etc., puesto que no se conocen sus valores. La matriz A del ejemplo anterior se abreviará como: A = ( aij ) 3x4 En general, la notación A = ( aij ) mxn denotará a la matriz a11 a21 a31 am1 de m filas y n columnas. Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tieneigual número de filas que de columnas, es decir, si es de dimensión nxn. a12 ... a1n a22 ... a2n a32 ... a3n am2 ... amn

A =

Así: 1 2 A= 7 8 es una matriz cuadrada de orden 2 y 1 2 9 7 8 6 4 5 2

B =

es una matriz cuadrada de orden 3.

*

Hay matrices de números complejos. Este texto está dedicado a las matrices cuyos elementos son números reales

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Capítulo 1

Las Matrices y susOperaciones

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En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22 = 8, se denominan los elementos de la diagonal. Tambien lo son los números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B. A los elementos δii (δ11, δ22, δ33, etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal. Igualdad de Matrices Definición: Dos matrices de la misma dimensión A = (aij ) mxn B = (bij)
mxn

, son iguales

si y sólo sí aij = bij , para todoi,j. Por lo tanto: A = 4 -1 2 puesto que a pesar de que: aij = bij para todo (i,j) ≠ (2,2), tenemos que: a22 ≠ Problema resuelto 1: Describa en detalle a la matriz A = ( aij ) 3x3, Solución: Los elementos serán: a11 =3 (1) + 12, a21 =3 (2) + 12 , a31 =3 (3) + 12 , a12 =3 (1) + 22 , a22 =3 (2) + 22 , a32 =3 (3) + 22 , a13 =3 (1) + 32 , a23 =3 (2) + 32 , a33 =3 (3) + 32. donde aij = 3i + j2. b22 2...