Algebra lineal

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar, y que satisfacen los diez axiomas enumerados en el siguiente recuadro.
Notación.
Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x 1 y y el producto escalar de a y x como ax. Antesde presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición5.1.1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy pocadificultad.
Ejemplo:
Sea V = Rn=
Cada vector en Rn es una matriz de n x 1. Según la definición de suma de matrices dada
x + y es una matriz de n x 1 si x y y son matrices de n x 1. Haciendo
se observa que los axiomas ii) a x) se obtienen de la definición de suma de vectores (matrices)
Teorema
Sea V un espacio vectorial. Entonces
i) a0 5 0 para todo escalar a.
ii) 0 ? x 5 0 para todo x PV.
iii) Si ax 5 0, entonces a 5 0 o x 5 0 (o ambos).
iv) (2l)x 5 2x para todo x P V.

Combinación lineal y dependencia lineal

Ha visto que todo vector v = (a, b, c) en R3 se puede escribir en la forma V=ai+bj+ck
en cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j y k. De manera mas general, se tiene la siguiente definicion.

Combinación lineal

Sean v1, v2,. . . , vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma a1v1 + a2v2 + . . . + anvn
donde, a1, a2, . . . , an son escalares se denomina una combinación lineal de
v1, v2, . . . , vn.

Ejemplos:

En R3 es una combinación lineal de ya que

Independencia lineal

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencialineal de los vectores. En esta seccion se define el significado de inde pendencia lineal y se muestra
su relacion con la teoria de sistemas homogeneos de ecuaciones y determinantes.
Empezamos tratando de contestar la siguiente pregunta: .existe una relacion especial entre los vectores Por supuesto, se puede apreciar que v2 = 2v1; o si se escribe esta ecuacion de otra manera 2v1 - v2 =0 Enotras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinacion no trivial de v1 y v2
(es decir, donde los coeficientes en la combinacion lineal no son ambos cero). .Que tienen de especial los vectores La respuesta a esta pregunta es mas dificil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3 = 3v1 1+2v2; reescribiendo esto se obtiene 3v1+2v2-v3=0



Dependencia e independencialineal
Sean v1, v2, … , vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, . . . , cn no todos cero tales que C1v1+c2v2 +…+CNVN=0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, … , vn son linealmente independientes si la ecuaciónc1v1 + c2v2 + . . . + cnvn 5 0 se cumple únicamente para c1 5 c2 5 . . . 5 cn 5 0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2, . . . , vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn}...