ALgebra Lineal

Unidad 1. Numeros Complejos
1.1.Definicion y Origen de los Numeros Complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulasque dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. Laexistencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
1.2. Operaciones Fundamentales con Numeros Complejos
Varias propiedades de la suma y del productode números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes conmitativas
z1 + z2= z2 + z1,    z1z2 = z2z1                                                                                                                                   
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),    (z1z2)z3 = z1(z2z3)                                                                                                                   
se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1)   y   z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) +(x1, y1) = z2 + z1
La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva
z(z1 + z2) = zz1 + zz2,                                                                                                                             
es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy   o   z = x + yi
Además, por las leyes asociativas,una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z   y   z * 1 = z                                                                                                                               
para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que
x + u = x   e   y + v = y;
o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, portanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo
-z = (-x, -y)                                                                                                                                                   
que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) =(0,0) implica que u = -x y v = -y.
Los inversos aditivos se usan para definir la resta:
z1 - z2 = z1 + (-z2).
Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces
z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2).
Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo,...