algebra lineal

Algebra Lineal
Tema 1.1 Definición y origen de los números complejos

Definición
Un Número Complejo es una expresión del tipo: z = a + bi, donde a y b son números reales e i es un símbolo.
Estetipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación x2 + x + 1 = 0 no tiene raíces reales.
Altratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:

No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, si usamospropiedades de los radicales se obtiene:

Luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma:

¿Qué significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo?¿Por qué no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan estetipo extraño de números, nos motiva a crear un sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo “Raíz cuadrada de -1” comouna entidad matemática nueva.
Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición:
O bien:
Una vezhecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos, cuyos elementos son combinaciones de la forma:

Donde a y b son números reales. Vemos entonces que todo número complejo consta de dospartes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Ejemplo: El siguiente es un número complejo:

Su parte real es raíz cuadrada de 2 y su parteimaginaria es raíz cuadrada de -3.

Ejemplo. El siguiente es un número complejo:

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales...