Algebra Lineal

Álgebra y Geometría Analítica

Vectores

Suma de vectores
Por el método del Paralelogramo
O por el método de la Poligonal (uno el principio con el final)
Propiedades de la Suma:
Cumple la ley de composición interna (resultado único)
Es asociativa
Es conmutativa
Existe un vector neutro (el vector nulo)
Opuesto aditivo 

Vector por escalar

Elsentido del vector resultante es igual al inicial si el escalar es positivo y es opuesto si el escalar es negativo.
Al multiplicar por el escalar 0 da el vector nulo

Propiedades de la multiplicación de un vector por un escalar:
Ley de composición interna
Asociatividad mixta (varios escalares pero un vector):
Es distributiva con respecto a la suma de escalares y a la suma de vectoresExiste un neutro multiplicativo que es el 1 o vector unidad

Ángulos directores de un vector:
Son los ángulos que forman los vectores con los versores canónicos.

Cosenos directores de un vector (coseno de los ángulos directores, que permiten proyectar un vector)


Propiedades:Versor Asociado (de módulo 1)


Vectores paralelos:


Operaciones entre vectores
Producto Escalar
Me da como resultado un número que lo obtengo multiplicando las componentes homólogas y sumándolas.
+ agudo - obtuso
También:

Propiedades:
Es conmutativo
Distributivo con respecto a la suma



Anulación del Producto Escalar:


VectorProyección
(da como resultado un número)
(da como resultado un vector)

Producto Vectorial

Propiedades del vector resultante:

(da como resultado el área del paralelogramo)
Los tres vectores conservan la misma orientación en el espacio.
Anulación del Producto Vectorial:

Propiedades del Producto Vectorial:
NO es conmutativa
NO es asociativa
Es distributiva con respecto a la sumaSe resuelve con la PSEUDODETERMINANTE


Producto Mixto
Se realiza entre tres vectores
volumen del paralelepípedo
Anulación del producto mixto
1)
2)
Siempre que el producto mixto da 0 se dice que son coplanares (perteneces a un mismo plano)
Propiedades del Producto Mixto:
Propiedad cíclica
Para resolver el producto mixto uso el DETERMINANTE


Vectores paralelos a los ejes:// al eje z = (0,0,z)
// al eje y = (0,y,0)
// al eje x = (x,0,0)

Vector / recta paralelo a un plano
// plano yz toma x=0
// plano zx toma y=0
// plano yx toma z=0
Recta en R2

Ecuación Vectorial Paramétrica de la recta
Datos: - vector director de la recta (que es un vector paralela a ella)
- Un punto Q que pertenece a la recta
(en todos los caso consideramos P como unpunto genérico de componentes xy)

Partiendo de esta ecuación si necesito encontrar puntos de la recta simplemente le asigno valores al escalar.

Ecuación Cartesiana Paramétrica
Datos: - vector director de la recta (que es un vector paralela a ella)
- Un punto Q que pertenece a la recta


Ecuación Simétrica
Datos: - vector director de la recta (que es un vector paralela aella)
- Un punto Q que pertenece a la recta

NO toda recta admite ecuación simétrica (cuando el director contiene alguna de sus componentes 0 no admite ecuación simétrica)

Ecuación Vectorial Normal de la recta
Datos: - vector normal de la recta (que es un vector perpendicular a ella)
- Un punto Q que pertenece a la recta


Ecuación General o Implícita
Datos: -vector normal de la recta (que es un vector perpendicular a ella)
- Un punto Q que pertenece a la recta


Ecuación Segmentaria

En este caso a es la abscisa al origen y b la ordenada al origen.

Ecuación Explícita



RECORDAMOS: Invirtiendo las componentes de vector normal y cambiándole uno de sus signos obtengo un vector director a la recta.

Pasaje de una a otra
Parto...