algebra lineal


1) MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1. DEFINIR; Los diferentes tipos de matrices: cuadrada, diagonal, identidad, triangular, transpuesta, idempotente, conjugada, hermética, antihermitica, ejemplos:
2. DEFINIR: suma y producto en el conjunto de las matrices y sus propiedades.
3. DEFINIR, matriz inversa y aplicar sus propiedades en la solución de ejercicios.
4. DETERMINAR,los métodos para obtener la inversa de una matriz.
5. DEFINIR, MATRIZ ORTOGONAL, ESCALONADA Y EQUIVALENTE. Sus propiedades. Ejemplos. Determinar y propiedades.
6. RESOLVER, sistemas de ecuaciones lineales.
7. 4.1 DETERMINAR, el conjunto de solución.
8. 4.2 CLASIFICAR, los sistemas de ecuaciones lineales.
9. UTILIZAR, el método de eliminación de Gauss-Jordán para resolver un sistema deecuación lineal.


TIPOS DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  
 
Matriz cuadrada
Una matriz de nxm elementos:

es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas. Es decir, n = m.
Se dice, entonces que la matriz es de orden n.
Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matrizantisimétrica.
Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los conceptos de determinante y traza solo aplicables a matrices cuadradas.
Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa.
Ejemplo de matrizcuadrada para n = 3:





Matriz diagonal  

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal.

Ejemplo de Matriz Diagonal:




Matriz Identidad  

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

Ejemplo de Matriz Identidad:Matriz Triangular  

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

Ejemplo de Matriz Triangular:


 


Transpuesta de una Matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  
Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
 

Matriz Idempotente
Una matriz idempotente es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir:
A es idempotente si A x A = A.

Algunas formulas de matriz idempotente:
Si acomprendida entre {0 y 1}




Por ejemplo, la siguiente matriz es idempotente:




Matriz Conjugada
Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.
Ejemplo:


Matriz Hermìtica
Una matriz hermítica es una matriz cuadrada de elementos complejosque tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.


Matriz Antihermitiana
En álgebra lineal, una Matrizantihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.
Ejemplo:
Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:






Suma de Matrices
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos...